Konvergenz von Folge untersuchen

05.03.2017, 15:30	überallmaddemadik	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folge untersuchen Meine Frage: Hallo, Ich soll diese Folge auf Konvergenz untersuchen $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{(-1)^n}{3^n - 2^n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin erstmal so vorgegangen: Betrachten den Nenner des Bruchs: $\begin{eqnarray} 3^n - 2^n = 2^n (1,5^n - 1^n) = 2^n (1,5^n - 1) \end{eqnarray}$ Dieser verläuft mit n gegen unendlich gegen unendlich. Daraus habe ich gefolgert dass an gegen Null verläuft. Erste Frage : Darf ich das so überhaupt ? Jetzt um abschließend sagen zu können, dass diese Folge auch wirklich konvergiert muss ich zeigen, dass dies der einzige Häufungswert der Folge ist. Ich wende die Definition an : Für alle Epsilon >0 exisitiert ein N , s.d betrag von an-0 kleiner ist als Epsilon für alle n größer als N. Hierzu mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3^n - 2^n} \textless \epsilon <br /> = \frac{1}{\epsilon} \textless 2^n(1,5^n -1) \end{eqnarray}$ Und ab hier weiß ich nicht wie ich weiter machen soll.. Könnte ich einfach auch das supremum von 1/3^n - 2^n betrachten (ist ja gleich 1)das heißt ja dann aber dass es ein Epsilon gibt welches kleiner ist als 1 also kann die Folge nicht gegen null konvergieren ? Ich hoffe jemand kann mir helfen Viele Grüße!
05.03.2017, 17:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätz doch einfach die Differenz gegen einen einfachen Term ab: Für $\begin{align} n\geq 1 \end{align}$ ist $\begin{align} 3^n = 3\cdot 3^{n-1}\geq 3\cdot 2^{n-1} \end{align}$ und damit $\begin{align} 3^n-2^n \geq (3-2)\cdot 2^{n-1} = 2^{n-1} \end{align}$ .

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