Zwei Wege zum Basiswechsel

05.03.2017, 18:50	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Wege zum Basiswechsel Meine Frage: Es sei die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bezüglich der kanonischen Basis gegeben. Jetzt soll sie bezüglich den Basisvektoren $\begin{eqnarray} v1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix},v2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ angegeben werden. Ich bekomme nur unterschiedliche Ergebnisse mit zwei Wegen, was mache ich also falsch? Meine Ideen: Weg A: Ich bilde die Bilder der Vektoren der kanonischen Basis und schreibe sie als Linearkombination von $\begin{eqnarray} v1,v2 \end{eqnarray}$ , die Koeffizienten bilden dann die Spalten der Matrix bezüglich unserer neuen Basis. $\begin{eqnarray} A\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=-1\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} A_{(v1,v2)}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weg B: Sei $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Matrix deren Spalten aus $\begin{eqnarray} v1,v2 \end{eqnarray}$ bestehen, so ist $\begin{eqnarray} A_{(v1,v2)}=S^{-1}AS \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{(v1,v2)}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wo ist hier mein Denkfehler?
05.03.2017, 20:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf dem ersten Weg nimmst Du im Ausgangsraum immer noch die kanonische Basis. Richtig wäre aber die neue Basis als Ausgangspunkt zu nehmen. Wenn Du eine Alternativ zum zweiten Weg suchst, musst Du Dir überlegen, wie sich $\begin{align} f(v_1) \end{align}$ und $\begin{align} f(v_2) \end{align}$ durch die Vektoren $\begin{align} v_1 \end{align}$ und $\begin{align} v_2 \end{align}$ darstellen lassen: $\begin{align} f(v_1)=f(e_1-e_2)=~... \end{align}$
05.03.2017, 20:49	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wäre es $\begin{eqnarray} A\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit wäre auch unser $\begin{eqnarray} A_{(v1,v2)}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und es stimmt Danke dafür! Also ist zu Weg A zu sagen, man rechnet ganz allgemein gesehen die Bilder der neuen Basisvektoren aus und stellt diese als Linearkombination der neuen Basis da. Jetzt ergeben die Koeffizienten die Spalten der neuen Matrix.
05.03.2017, 23:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es
06.03.2017, 07:11	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann vielen Dank dir! Jetzt hab ichs verstanden

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