Permutation, Kombination oder Variation? |
| 06.03.2017, 07:56 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Permutation, Kombination oder Variation? Herr und Frau A. laden 4 Ehepaare zu sich nach Hause ein. Als die Paare eintreffen, passiert folgendes: Personen, die sich bereits kannten, schüttelten die Hände, jene die sich nicht kannten, grüßten sich einfach, ohne Händeschütteln. Danach stellte Frau A. fest: “Wenn man von mir absieht, gibt es keine 2 Personen, die gleich oft die Hände geschüttelt haben.” Wie oft hat Herr A. Hände geschüttelt? Ich habe mir zwar versucht es logisch herzuleiten, indem ich mir Notizen gemacht habe, und versucht habe mit dem Abzählprinzip weiterzukommen, aber ich komme leider auf keinen grünen Zweig. Ich muss allerdings auch gestehen, dass ich in diesem Thema noch nie wirklich gut war, bzw. es wirklich verstanden habe, daher wäre ich sehr dankbar über gute Hinweise und Erklärungen 
In der VO gelernt haben wir bis jetzt das Schubfachprinzip, Permutation, Permutation der Multimenge, Kombination mit und ohne Wiederholungen und Variation mit und ohne Wiederholung... Lg |
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| 06.03.2017, 08:19 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kombinatorik besteht nicht nur darin, Werte in Anzahlformeln einzusetzen, insofern ist die Threadüberschrift bezogen auf das vorliegende Problem ziemlich verfehlt gewählt...
Ich geh erstmal davon aus, dass die Ehepartner sich nicht gegenseitig die Hände geschüttelt haben. Also hat jeder Teilnehmer der Party maximal 8 Leute, denen er die Hände schüttelt. Nehmen wir Frau A aus, gibt es 9 Leute, also kommt jede der Anzahlen 0..8 jeweils genau einmal vor als Handschüttelanzahl. Nun gibt es eine Person, die 8-mal geschüttelt hat und eine die keinmal geschüttelt hat. Die beiden müssen miteinander verheiratet sein - warum? Dann nimm dieses Paar aus der Betrachtung raus und schau auf die Händeschüttelanzahlen zwischen den verbliebenen 8 Personen, usw. Mathematisch präzise würde man das ganze wohl in einen Induktionsbeweis verpacken, gleich für statt 4 Gastpaare. |
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| 06.03.2017, 11:35 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es tut mir wirklich leid, aber anscheinend stehe ich total auf der Leitung bei diesem Thema.. Mir ist natürlich klar, dass ich meine Ehepartner und mir selbst nicht die Hand geben werden. Aber warum muss die Persön, die 8-mal geschüttelt hat, mit der Person, die keinmal geschüttelt hat miteinander verheiratet sein? Das leuchtet mir irgendwie nicht ein.. Frau A hat an sich ja die Möglichkeit 8 Personen die Hände zu schütteln, vorausgesetzt sie kennt alle. Und Herr A hat doch aber auch die gleiche Möglichkeit, wenn er alle kennt, oder habe ich da einen Denkfehler? Ich blicke leider nicht ganz durch... Und was ich mir noch durchgedacht habe, war, dass wenn Frau A zB. mit Frau B die Hände schüttelt, dann kennen sie sich gegenseitig und beide haben bis jetzt mit einer Person die Hände geschüttelt. Wenn jetzt aber Frau A auch mit Herr C die Hände schüttelt, kennt Frau A schon 2 Personen, aber Frau B muss ja nicht unbedingt Herr C auch kennen... Aber diese Denkweise kommt mir dann halt auch wieder viel zu umständlich vor... |
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| 06.03.2017, 11:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Angenommen, sie wären nicht verheiratet. Dann hat die Person mit 8 Handschüttelungen allen (außer dem Ehepartner) die Hand gegeben, speziell auch der Person, die gar keinem anderen die Hand geschüttelt hat ... Klingt irgendwie nach Widerspruch, nicht wahr? 
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| 06.03.2017, 11:54 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achsooo ja gut, jetzt habe ich das verstanden
Das leuchtet mir nun, wie es gemeint war. Doch wie komme ich dann nun weiters auf das Ergebnis, wieviele sich kennen oder nicht kennen? Nach der Aussage von Frau A gibt es nach meinem Verständnis 0 oder 1 Person, die gleich viele Leute kennt wie Frau A. Doch dann ist die Frage, wievielen Leuten Herr A die Hand geschüttelt hat.. |
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| 06.03.2017, 11:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, noch etwas aufgeschlüsselt, was ich meine: Nachdem wir das Paar mit den Handschüttelanzahlen 0 und 8 gedanklich entfernen, bleiben für die 7 Leute (alle restlichen außer Frau A sowie dem entfernten Paar) noch die Handschüttelanzahlen 1..7 übrig. Nun haben diese 7 Leute jeweils genau einem aus dem entfernten Paar die Hand gegeben, dem anderen aber nicht. D.h., wenn es jetzt um die Handschüttelanzahlen innerhalb der verbliebenen 8 Personen geht, dann müssen wir jeweils eins subtrahieren und haben die Handschüttelanzahlen 0..6. Jetzt greift wieder genau dieselbe Begründung wie oben, nur diesmal mit 3 statt 4 Gastpaaren... |
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| 06.03.2017, 12:08 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das habe ich probiert.. aber mir erscheint es irgendwie nicht ganz Logisch, außer ich habe was falsch.. Das ist das was ich gerade auf meinem Zettel stehen habe: FA - FB FA - FC FA - HC FA - FD FA - HD FA - FE FA - HE ----------- HA - FB HA - HB HA - FC HA - HC HA - FD HA - HD HA - FE HA - HE FB - FC FB - HC FB - FD FB - HD FB - FE FB - HE ---------- HB - FC HB - HC HB - FD HB - HD HB - FE HB - HE FC - FD FC - HD FC - FE FC - HE ---------- HC - FD HC - HD HC - FE HC - HE FD - FE FD - HE ---------- HD - FE HD - HE Doch irgendwie kommt mir das Suspekt vor, da sich ja dann sowieso alle untereinander kennen oder nicht? |
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| 06.03.2017, 12:41 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was ganz gewiss nicht den Voraussetzungen entspricht. Und ich verstehe nicht, was du das auflistest - hat anscheinend nichts mit dem zu tun, über was ich geredet habe. 
Im Klartext kann man eine derartige Verallgemeinerung folgendermaßen formulieren:
Behauptung : Herr und Frau A schütteln jeweils genau Personen die Hände. Der Beweis kann durch vollständige Induktion über erfolgen. |
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| 06.03.2017, 12:55 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es tut mir wirklich leid und ich mach das nicht mit Absicht, aber mein Knopf bei diesem Beispiel will einfach nicht aufgehen... 
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| 06.03.2017, 13:00 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tja, da kann ich dann auch nichts ändern, wenn du den Argumenten nicht folgen willst. Ich gebe dir zumindest mal eine (!) mögliche Handschüttelkonfiguration an, die den Voraussetzungen genügt. Das ist natürlich kein Beweis dafür, dass es immer so aussehen muss: FA - FB FA - FC FA - FD FA - FE HA - FB HA - FC HA - FD HA - FE FB - FC FB - FD FB - FE HB - FC HB - FD HB - FE FC - FD FC - FE HC - FD HC - FE FD - FE HD - FE Im Ergebnis haben dann HE,HD,HC,HB,HA,FB,FC,FD,FE die Handschüttelanzahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8. |
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| 06.03.2017, 14:24 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jaaa die Aufteilung kann ich gerade nachvollziehen! Aber wenn ich das richtig verstehe, kann es andere Möglichkeiten für die jeweiligen Personen geben, je nach dem von welcher Ausgangsperson ich ausgehe oder? |
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| 06.03.2017, 14:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, ich habe das Beispiel so konstruiert, dass jeweils die Frauen die "Vielschüttlerinnen" in den Paaren sind, und das von E nach A abnehmend. Es müssen zum einen nicht die Frauen sein, zum anderen kann man die Reihenfolge E,D,C,B in dieser Hinsicht beliebig durcheinanderwürfeln. Was aber bleibt, dass FA und HA jeweils viermal schütteln, diese Eigenschaft haben alle möglichen Lösungen - was aber letztlich zu beweisen ist! Und dazu habe ich ja schon reichlich Anregungen gegeben. |
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| 06.03.2017, 14:34 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja okay gut dann hab ich es endlich verstanden! Riesengroßes Danke für deine unendliche Geduld mit mir 
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