Stetigkeit, Euklidische Topologie

06.03.2017, 12:13

ksgfan

Stetigkeit, Euklidische Topologie

Welche der folgenden Funktionen $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ sind stetig?

$\begin{eqnarray*} X = [0,1] \cup [2,3] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y = R \end{eqnarray*}$ (mit der Euklidischen Topologie)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}<br /> 0, & \text{auf } [0,1]\\<br /> 1, & \text{auf } [2,3]<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das begründen? Sollte ich die epsilon-delta Definition verwenden? Kann ich sagen, dass Urbild von f(x) ist ein Element von X, deswegen ist die Funktion stetig? Es sieht aber gar nicht stetig aus ...

06.03.2017, 12:17

IfindU

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RE: Stetigkeit, Euklidische Topologie
Welche Topologie besitzt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ denn? Die Unterraum-Topologie bzgl. der euklidischen Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Je nachdem was man von der Topologie weiß darf man mit Epsilon-Delta argumentieren. Elementarer wäre es aber zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist, falls $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist.

06.03.2017, 13:14

ksgfan

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Ich weiss nicht, welche Topologie X besitzt. Anbei Bild mit der Aufgabe.

Sind hier aber nicht die beiden Mengen X und Y abgeschlossen, da die Komplemente offen sind? Gilt die Definition dann auch?

edit.

f(x) ist 1 oder 0 , darf man dann als Teilmenge leere Menge nehmen und sagen, dass sie auch in X enthalten ist? Dann kann man aber alle Mengen so argumentieren...

06.03.2017, 13:26

IfindU

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Dann wird damit die Unterraum-Topologie gemeint sein.

Und deine Definition von Stetigkeit ist falsch, daher habe ich sie noch einmal korrekt aufgeschrieben. Es gibt 4 Fälle mit $\begin{eqnarray*} 0,1 \in O \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0,1 \not\in O \end{eqnarray*}$ und entweder 0 ist in O, aber nicht die 1 bzw. umgekehrt. Für die Fälle kann man also dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) \end{eqnarray*}$ explizit hinschreiben.

Ferner: X und Y sind abgeschlossen. Aber sie sind beide auch offen. Das ist eine der grundlegenden Eigenschaften eines topologischen Raumes. Unabhängig von der konkreten Menge, auf die die Topologie definiert ist -- und sogar egal, welche Topologie darauf definiert ist.

Also: Schau mal im Skript nach wie ihr die Unterraum-Topologie, induzierte Topologie oder welchen Namen sie auch bei euch bekam, definiert habt.

06.03.2017, 16:28

ksgfan

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Induzierte Topologie is definiert als
$\begin{eqnarray*} \{A\subseteq X : \forall x \in A ,\exists r >0, B_r(x) \subseteq A \} \end{eqnarray*}$

Aber wie kann man offene Kugel um einen Punkt 1 oder 0 basteln ?

Es ist peinlich, ich weiss, aber ich habe keine Ahnung und bin langsam verzweifelt mit AnaII ...

06.03.2017, 16:32

IfindU

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Kümmern wir uns erst einmal darum wie $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) \end{eqnarray*}$ aussieht, wenn $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ eine (offene) Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ extrem simpel ist, ist es egal ob $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ nun offen ist oder nicht. Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) \end{eqnarray*}$ offen für jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ .

Also: Wenn $\begin{eqnarray*} 0 \in O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \in O \end{eqnarray*}$ . Was ist dann die Menge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) \end{eqnarray*}$ explizit?

06.03.2017, 16:54

ksgfan

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$\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = [0,1] \cup [2,3] \end{eqnarray*}$

06.03.2017, 16:56

IfindU

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Sehr gut. Betrachte die anderen 3 Fälle, die ich oben geschrieben habe auch nicht. Wenn du alle 4 zusammen hast, können wir uns fragen ob die Mengen (in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ) offen sind.

06.03.2017, 17:04

ksgfan

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$\begin{eqnarray*} {0,1} \in (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = [0,1] \cup [2,3] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0,1} \notin (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0} \in (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = [0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {1} \in (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = [2,3] \end{eqnarray*}$

06.03.2017, 17:14

IfindU

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Bei den letzten 2 Fällen sollte man noch explizit erwähnen dass der jeweils andere Wert nicht enthalten ist. Aber sehr gut. Nun die Definition von offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} O \subset X \end{eqnarray*}$ heißt offen, wenn es eine offene Teilmenge $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} U \cap X = O \end{eqnarray*}$ .

Das sieht jetzt abstrakt aus, aber was du tun musst: Für jedes der $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) \end{eqnarray*}$ musst du nun eine offene Teilmenge der reellen Zahlen finden, so dass wir $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) \end{eqnarray*}$ bekommen, sobald wir sie mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ schneiden.

Die ersten beiden sind sehr einfach. Die letzten beiden erfordern etwas mehr Feingefühl. Schau mal ob du was hinbekommst, und wie weit du kommst.

07.03.2017, 08:18

ksgfan

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$\begin{eqnarray*} {0,1} \in (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = [0,1] \cup [2,3] \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U = R \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} U \cap X = [0,1] \cup [2,3] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0,1} \notin (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U = \emptyset \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} U \cap X =\emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0} \in (O) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {1} \notin (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = [0,1] \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U = R\setminus[2,3] \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} U \cap X = [0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {1} \in (O) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {0} \notin (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = [2,3] \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U = R\setminus[0,1] \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} U \cap X = [2,3] \end{eqnarray*}$

07.03.2017, 13:17

IfindU

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Perfekt

07.03.2017, 14:14

ksgfan

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Und jetzt $\begin{eqnarray*} Y = R \end{eqnarray*}$ , d.h alle die Mengen gehören zu der Topologie = sind offen = f ist stetig ?

07.03.2017, 14:57

1234abc

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Kurze Frage:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} {0} \in (O) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {1} \notin (O) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O) = [0,1] \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U = R\setminus[2,3] \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} U \cap X = [0,1] \end{eqnarray*}$

Hätte man hier auch einfach z.B. $\begin{eqnarray*} U=(-\frac 12,\frac 32) \end{eqnarray*}$ nehmen können?

07.03.2017, 17:14

IfindU

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Zitat:

Original von ksgfan
Und jetzt $\begin{eqnarray*} Y = R \end{eqnarray*}$ , d.h alle die Mengen gehören zu der Topologie = sind offen = f ist stetig ?

Ich verstehe nicht was du meinst, Was du gezeigt hast ist, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist bgzl. jeder Topologie auf $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Du musstest naemlich etwas nur fuer offene Mengen $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zeigen, konntest es aber fuer alle Teilmengen von Y tun. Da es fuer alle Teilmengen gilt, gilt es auch fuer alle offenen Teilmengen von Y.

Natuerlich ist das im Allgemeinen nicht moeglich, aber da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hier fast konstant war (nennt sich lokal konstant), kann man das viel staerkere hier zeigen.

@1234abc Das waere auch meine Wahl gewesen, aber ksgfan hat gleich die groesste offene Menge genommen, die es erfuellt.

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