Vollständige Induktion Ungleichung n^2>=2n+3

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06.03.2017, 19:24

kantor

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Vollständige Induktion Ungleichung n^2>=2n+3

Hallo zusammen !! Wink

Möchte mich gerne mal kurz vorstellen.
Mein Vorname ist Christoph und bin 42 Jahre jung Big Laugh

Ich habe mich hier angemeldet, weil mir Mathe immer noch viel Spaß macht Freude

und auch immer Spaß
machen wird smile

Ich wollte gerne wissen, ob ihr über meine Aufgabe schauen könnt und
mir einige Tipps geben könntet.

Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2n+3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$

I.A.) Setze n=3 ein $\begin{eqnarray*} 3^{2} = 9 \geq 9 = 2(3)+3 \end{eqnarray*}$

I.V.) Für $\begin{eqnarray*} n= 3 \end{eqnarray*}$ gilt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2n+3 \end{eqnarray*}$

I.S.) Unter der Annahme, dass I.V) gilt, gibt es für n einen Nachfolger mit n+1. Setze ein:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} \geq 2(n+1)+3 \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} = n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$ (nach der I.V.) $\begin{eqnarray*} \geq 2n+3 + 2n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq 2n+3 + 2n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq 2n+3 +n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq 2n+3 + n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq 2n+3 + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq 2(n+1) + 3 \end{eqnarray*}$ q.e.d

So... fertig.

Kann ich die Abschätzung so stehen lassen oder sollte ich einige Schritte weglassen oder muss ich was hinzufügen?

Danke für eure Kritik und Anregungen Freude

Gruß kantor

06.03.2017, 19:35

Matt Eagle

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RE: Vollständige Induktion Ungleichung n^2>=2n+3
Die Beh. Ist offenbar äquivalent zu
(n-1)^2 >= 4
und somit auch ohne Induktion leicht gezeigt werden kann.

07.03.2017, 08:34

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion Ungleichung n^2>=2n+3
Daß es auch ohne vollständige Induktion geht, hat schon Matt Eagle erwähnt. Was den Beweis angeht, kann man die folgenden Zeilen:

Zitat:

Original von kantor
$\begin{eqnarray*} \geq 2n+3 +n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq 2n+3 + n \end{eqnarray*}$

bequem ersatzlos streichen. smile

09.03.2017, 14:25

kantor

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Hallo,

danke für eure Antworten. Ich wollte, wie "klarsoweit" das beantwortet hat, eigentlich nur wissen, ob
der Ablauf richtig ist. Ich werde das beachten, danke Wink

Bis dann

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