Volumen eines Kegels mit Kegelkoordinaten

07.03.2017, 08:38

formelschluri

Volumen eines Kegels mit Kegelkoordinaten

Meine Frage:
Hey ich komme einfach nicht auf die Richtige Lösung und wollte mal fragen ob mir hier jemand weiterhelfen kann
Aufgabe ist ein umgedrehter Kegel mit Radius r und höhe h
Formel ist
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}\leq r^{2}*(1-\frac{z}{h})^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq h \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als erstes hab ich
$\begin{eqnarray*} r*(1-\frac{z}{h}) \end{eqnarray*}$ mit u substituert.

Jacobi Determinante $\begin{eqnarray*} det(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{r}{h} \end{vmatrix}) \end{eqnarray*}$ bleibt dann r/h*du*dp*db ( b=x und p=y) für das Integral stehen. Zweite substitution hab ich dann mit Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} \frac{r}{h} *\int_{0}^{h} \!*\int_{0}^{2pi} \!*\int_{0}^{z} \! s \, dsd\gamma dz \end{eqnarray*}$

Wenn ich das aber ausrechne komm ich auf 1/3h²r*pi so dass genau der exponent bei h und r falsch rum ist wie er soll....
wäre echt cool wenn mir da jemand weiter helfen könnte ... weiß nicht ob es an den Integrationsgrenzen liegt ob ich da noch dran schrauben muss.

Bevor das zu verwirrung führt das z vom anfang und das z in dem letzten integral ist nicht das selbe einfach eine andere variable vorstellen Big Laugh

sorry

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

07.03.2017, 09:28

HAL 9000

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Vielleicht wäre es transparenter, wenn du nicht fünf Schritte auf einmal gemacht hättest. Dann wäre nämlich auch der Fehler in der Integrationsgrenze eher aufgefallen: Richtig ist

$\begin{align*} V = \frac{h}{r} \int\limits_0^{{\color{red}r}} \int\limits_0^{2pi} \int\limits_0^u s ~ \dd s ~ \dd\gamma ~ \dd u \end{align*}$ .

07.03.2017, 09:31

klarsoweit

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RE: Volumen eines Kegels mit Kegelkoordinaten
Ehrlich gesagt habe ich eine Weile gebraucht, um deine Augenwischerei zu durchschauen. geschockt

Punkt 1:

Zitat:

Original von formelschluri
Als erstes hab ich
$\begin{eqnarray*} r*(1-\frac{z}{h}) \end{eqnarray*}$ mit u substituert.

Jacobi Determinante $\begin{eqnarray*} det(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{r}{h} \end{vmatrix}) \end{eqnarray*}$ bleibt dann r/h*du*dp*db ( b=x und p=y) für das Integral stehen.

Da muß man schon schauen, daß du nicht falsch herum substituierst. Denn in Wirklichkeit substituierst du x=b, y=p und $\begin{eqnarray*} z = -h \cdot (\frac u r -1) \end{eqnarray*}$ . Und damit ist die Jacobi Determinante $\begin{eqnarray*} det(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{h}{r} \end{vmatrix}) \end{eqnarray*}$

Punkt 2:

Zitat:

Original von formelschluri
Zweite substitution hab ich dann mit Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} \frac{r}{h} *\int_{0}^{h} \!*\int_{0}^{2pi} \!*\int_{0}^{z} \! s \, dsd\gamma dz \end{eqnarray*}$

Hier muß es dann korrekt lauten: $\begin{eqnarray*} \frac{h}{r} \cdot \int_0^r \int_0^{2\pi} \int_0^u \! s \, ds d\gamma du \end{eqnarray*}$

EDIT: HAL 9000 war mal wieder einen Tick schneller. traurig

07.03.2017, 09:34

Ehos

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Die kreisförmige Grundfläche des Kegels mit dem festen Radius $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ steht auf der xy-Ebene. Die Kegelspitze liegt "oben" im Punkt (0|0|h). Folglich nimmt der Radius des kreisförmigen Querschnittes mit zunehmenden z ab gemäß der Geradengleichung

$\begin{eqnarray*} r=r_0\cdot \left ( 1-\tfrac{z}{h}\right ) \end{eqnarray*}$

In üblichen Zylinderkoordinaten lautet das Volumenintegral

$\begin{eqnarray*} V=\int_{z=0}^h\int_{r=h}^{r_0 \left (1-\tfrac{z}{h} \right )}\int_{\phi=0}^{2\pi}r\,\,d\phi dr dz \end{eqnarray*}$

Der Integrand r ist die bekannte Funktionaldeterminante bei Zylinderkoordinaten. Integration liefert die bekannte Formel $\begin{eqnarray*} V=\tfrac{1}{3}r_0^2\pi h \end{eqnarray*}$ .

07.03.2017, 09:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
EDIT: HAL 9000 war mal wieder einen Tick schneller.

Aber dafür habe ich das mit der Jacobi-Verwechslung nicht erklärt. Augenzwinkern

Wobei man sagen muss, dass das Herangehen mit einer dreidimensionalen Transformation hier etwas überkandidelt wirkt, zumal die Koordinaten $\begin{align*} x,y \end{align*}$ ja (zunächst) unangetastet blieben - da hätte es auch eine einfache eindimensionale Substitution $\begin{align*} z\to u \end{align*}$ getan. Wenn schon, dann hätte es sich allenfalls bei Einbeziehung der Polarkoordinaten in einem Aufwasch gelohnt, d.h., $\begin{align*} (x,y,z)\to (s,\gamma,u) \end{align*}$ . smile

07.03.2017, 11:35

formelschluri

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Großes Dankeschön an euch drei.
Das mit der substitution hab ich echt nicht bedacht, dass ich dann nach u ableite und nicht nach z.

Eine kurze Verständnisfrage noch die letzte Integralgrenze die ich falsch hatte resultiert, nicht ganz so mathematisch formuliert daher, dass mein U als kleinsten Wert 0 und als größten wert r annehmen kann ?
Oder ist die herangehensweise an die Integralgrenzen ne andere ?

Dass direkt mit den Polarkoordinaten werde ich das nächste mal berücksichtigen danke für den Tipp

07.03.2017, 11:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von formelschluri
Eine kurze Verständnisfrage noch die letzte Integralgrenze die ich falsch hatte resultiert, nicht ganz so mathematisch formuliert daher, dass mein U als kleinsten Wert 0 und als größten wert r annehmen kann ?

Im Prinzip ja, aber man dabei schauen, daß man nach wie vor über dasselbe Gebiet integriert. (Siehe nächste Frage.)

09.03.2017, 11:18

formelschluri

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Weitere Frage diesbezüglich
Neue Aufgabe gebietsintegral über die Kugel mit radius 1

funktion f(x)=(xz)²+(yx)²+(zy)²
hätte jetzt von meinem Verständnis gesagt, dass da das Volumen des Gebietes rauskommt, wenn ich es rechne hätte ich aber

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \!\int_{0}^{c} \!\int_{0}^{a} \! a²+b²+c² \, dbdadc \end{eqnarray*}$

da würde dann -7/3 rauskommen

hab es auch mit polarkoordinaten versucht, bin allerdings bei nem endlos sinus cosinus term hängen geblieben der leider nicht 1 ergab insofern wenig Sinn gemacht hat so weiter zu rechnen

09.03.2017, 11:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von formelschluri
funktion f(x)=(xz)²+(yx)²+(zy)²

Eher wohl f(x,y,z) = (xz)²+(yx)²+(zy)² .

Zitat:

Original von formelschluri
hätte jetzt von meinem Verständnis gesagt, dass da das Volumen des Gebietes rauskommt

Dann müßte die Funktion f(x,y,z)=1 lauten.

Zitat:

Original von formelschluri
wenn ich es rechne hätte ich aber

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \!\int_{0}^{c} \!\int_{0}^{a} \! a²+b²+c² \, dbdadc \end{eqnarray*}$

Da weiß ich jetzt nicht, wie du auf dieses Integral kommst. Du solltest es mal mit Kugelkoordinaten versuchen. smile

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