DGL Aufgabe mit Integral

07.03.2017, 13:35	addict90	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Aufgabe mit Integral Hallo, ich schreibe demnächst Differentialgleichungen und habe bei einem Typ große Probleme. Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} y'-\int_{0}^{t} \! y(r)cos(t-r) \, dr = 1 \end{eqnarray*}$ Da ich überhaupt keinen Ansatz zur Verfügung habe, ist dieses Forum zZ meine letzte Hoffnung und würde mich riesig freuen, wenn mir einer behilflich sein könnte. Mfg.
07.03.2017, 16:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn nun aber die Aufgabenstellung? Die Integralgleichung lösen? Oder erstmal nur in eine "reine" DGL überführen (d.h. ohne Integral)? Und eine Frage: Du hast dich nirgendwo verschrieben, es geht wirklich um $\begin{align} y' - \int\limits_0^t y(r)\cos(t-r) ~ \dd r = 1 \end{align}$ , also nicht etwa nur um $\begin{align} y - \int\limits_0^t y(r)\cos(t-r) ~ \dd r = 1 \end{align}$ ?
07.03.2017, 17:40	addict90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, sorry, na klar hast du recht! Folgende Integralgleichung soll gelöst werden: $\begin{eqnarray} y-\int_{0}^{t} \! y(r)cos(t-r) \, dr = 1 \end{eqnarray*}$
07.03.2017, 20:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, Ok. Setzen wir $\begin{align} t=0 \end{align}$ ein bekommen wir $\begin{align} y(0)=1 \end{align}$ als Anfangsbedingung der DGL. So genau kenn ich mit diesen Integralgleichungen auch nicht aus - ich differenziere einfach mal: $\begin{align} y' - y(t)\cos(t-t) - \int\limits_0^t y(r)\cdot (-\sin(t-r)) ~ \dd r = y' - y + \int\limits_0^t y(r)\sin(t-r)~ \dd r = 0 \end{align}$ $\begin{align} t=0 \end{align}$ eingesetzt ergibt das $\begin{align} y'(0)=y(0)=1 \end{align}$ . Und erneut differenziert landen wir bei $\begin{align} y'' - y' +y(t)\cdot \sin(t-t) + \int\limits_0^t y(r)\cos(t-r)~ \dd r = y'' - y' + y-1 = 0 \end{align}$ . D.h., es ist die DGL $\begin{align} y''-y'+y-1=0 \end{align}$ mit den Anfangswerten $\begin{align} y(0)=y'(0)=1 \end{align}$ zu lösen. Und hinterher besser Probe machen. EDIT: Zur Kontrolle, die Lösung ist $\begin{align} y(t) = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) \exp\left(\frac{1}{2}t\right) + 1 \end{align}$ .
09.03.2017, 12:30	addict90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey HAL9000, danke für die viele Mühe. Das war mir schon sehr hilfreich! Die lin. DGL 2.Ordnung stellt normalerweise kein Problem dar. Hatte nur keine Ahnung wie man die Integralgleichung in solche überführt. Nun kann ich an Parallelaufgaben das Verfahren üben. Mal sehen wie weit ich komme, sonst melde ich mich nochmal Liebe Grüße

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