Begrenztes Wachstum

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Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »
Begrenztes Wachstum
Meine Frage:
Eine Flüssigkeit mit einer Ausgangstemperatur von 80°C wird in einem Raum mit der konstanten Raumtemperatur 18°C abgekühlt. Der Abkühlungsvorgang kann durch die Differenzialgleichung f(t) = -0,05 * (f(t) - 18) mit t in Minuten ab Messbeginn näherungsweise beschrieben werden.

Die Aufgabe lautet: Führe ein Experiment unter den oben genannten Voraussetzungen durch und zeige anhand deiner Messergebnisse zu welcher Funktion du gekommen bist.Erstelle eine Skizze.

2.) Herr Müller will den Kaffee nach fünf Minuten trinken. Ist er dann schon zu kalt?

3.) Seine Frau will den Kaffee bei einer Temperatur von 50°C trinken. Wie lange muss sie warten?

differentialgleichung wachstum

Meine Ideen:
eine Skizze zeichnen , jedoch weis ich nicht wie
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begrenztes Wachstum
Willkommen im Matheboard!

Die Skizze bezieht sich auf das Experiment, das Du durchführen sollst. Hol Dir also einen Kaffee und ein Thermometer. Dann miss jede Minute die Temperatur und trag den Verlauf in eine Kurve ein.

Die genannte DGL ist übrigens keine, es fehlt ein Differential. Schau da noch mal hin.

Viele Grüße
Steffen
 
 
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begrenztes Wachstum
Wie meinen sie dass mit "es fehlt ein Differential" ?

MfG
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begrenztes Wachstum
Zitat:
Original von Jannis12
Der Abkühlungsvorgang kann durch die Differenzialgleichung f(t) = -0,05 * (f(t) - 18) mit t in Minuten ab Messbeginn näherungsweise beschrieben werden.

Damit es eine Differenzialgleichung wird, sollte es wohl f'(t) = -0,05 * (f(t) - 18) lauten. smile
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht keine Ableitung drin wenn man es anders ausdrücken möchte.

DGL sehen ja meist

y' = y + ...

aus.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schließe mich diesen Worten an. Du hast
Zitat:
f(t) = -0,05 * (f(t) - 18)

geschrieben, meinst aber wahrscheinlich
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau habe nochmal nachgeguckt, es müsste die erste Ableitung sein nicht die Ausgangsfunktion.
Mein Fehler tut mir leid.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja nicht so tragisch, für die Skizze ist das ohne Belang.

Der Rest ist dann nicht schwer, oder?
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Hab aber eine kurze Frage noch.
Nachdem ich die Kurve gezeichnet habe, wie bekomme ich dann die Funktion raus?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst musst Du schauen, in welchen Temperaturwert die Kurve reinläuft. 18°C ist ja nicht unbedingt die Umgebungstemperatur, oft sind es auch 20°C oder sogar mehr. Diesen Wert brauchst Du nachher noch.

Jetzt nimmst Du ein Lineal und misst an verschiedenen Punkten der Kurve die Steigung. Also übers jeweilige Steigungsdreieck. Das ergibt dann die f'(x)-Werte.

Diese f'(x)-Werte müssen sich ergeben, wenn man von den zugehörigen f(x)-Werten die oben ermittelte Umgebungstemperatur (im Beispiel 18) abzieht und mit einem festen Wert (im Beispiel -0,05) multipliziert. Dieser feste Wert könnte, je nach Kaffee, Tasse etc. aber bei Deinem Experiment anders sein, und das sollst Du herausfinden.
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Formel für meine Rechnung richtig : 18+(80-18)e^-0,05*t

bin ich auf dem richtigen Weg? verwirrt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Formel ist für Teil 2 und 3 richtig. Hast Du Teil 1 denn gemacht?
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte heute mir ein Thermometer kaufen und es selber dann messen. Dann in den Graphen eintragen.
Dann bin ich auch fertig oder ? Tanzen
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn Du den Verlauf der Temperatur bei Deinem Experiment mit einer Formel beschrieben hast, also

.

Wie das geht, hab ich Dir ja gezeigt.
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

hab den Graphen gezeichnet, wenn sie es sehen wollen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das ist nicht Dein Experiment, oder? Du hast doch bestimmt einen anderen Temperaturverlauf gemessen. Und den sollst Du skizzieren und auswerten.
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier habe ich die Ergebnisse aus dem Experiment und aus der Funktion eingezeichnet.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Prima! Wie lauten dann bei Dir?
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinen Sie das ? Ich habe es nicht verstanden.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst die Formel für den Graphen, den Du gemessen hast, herausfinden. Das steht doch in der Aufgabe. Und wie das geht, hab ich im Beitrag vom 08.03.2017 15:07 geschrieben.
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum beispiel messe ich die Abstände z.b zwischen 10min bis 15min .Es beträgt 8 °C . Was sollen jetzt mit dem 8grad machen ? verwirrt

Meine Funktion die ich selber gemessen hab ist ja nicht immer gleich. Also die Steigung ist nicht immer gleich. wie soll da eine Funktion raus bekommen ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Steigung ändert sich natürlich laufend, aber es gilt doch .

Das heißt, die Steigung f'(x) ist abhängig vom momentanen Funktionswert f(x). Das ist ja das Entscheidende für eine Differentialgleichung!

Und die Steigung beim Funktionswert 60 Grad hast Du ja gerade selber angegeben: 8 Grad pro 5 Minuten. Nun stell die Formel um und berechne a.
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

sry wusste nicht wie man in Mathematischer Formel schreibt.
Also für f´(5)=a*(60)-5min.
Richtig ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt leider gar nicht. Habt Ihr denn so etwas noch nicht durchgenommen? Nicht dass wir hier über Dinge reden, die Du nicht gelernt hast! Die Aufgabe ist zwar so gestellt, und bis jetzt hast Du auch alles gur hingekriegt. Vielleicht bedeutet
Zitat:
zeige anhand deiner Messergebnisse zu welcher Funktion du gekommen bist

ja auch nicht, dass die Formel bestimmt werden soll, sondern nur skizziert. Dann wärst Du nun fertig.

Also: was weißt Du über Differentialgleichungen?
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja etwas aber ich habe mir alles selber beigebracht, weil das meine Präsentation ist .
aber ich weiss nicht wie ich die funktion bilden kann unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, es gilt

.

Die Minimaltemperatur ist ja auch bei Deinem Experiment 18 Grad. Und wir schauen uns die Steigung bei f(t)=60Grad an, und -8 Grad in 5 Minuten sind also

Jetzt haben wir alles beisammen, um a zu berechnen.

Du bist wieder dran.
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

ist a = -0,04 und das bedeutet das meine konstante a immer -0.04 bleibt und ich diese fur jede berechnung von einer steigung anwenden kann angenommen ich will die steigung bei 50° berechnen setze ich ein :f'(t) = -0.04*(50-18)=-1.28
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sehr gut!

Die "Abkühlkonstante" bleibt prinzipiell in der Tat auf dem Wert -0,04. Damit ergibt sich dann Deine Kurve:



Dass das Experiment einen etwas krummeren Graphen ergibt, liegt an verschiedenen Effekten. Insbesondere bei 40 Minuten sieht man eine "Beule". Da hast Du vielleicht die Heizung angemacht oder irgendwas anderes hat die Messung verfälscht. Aber rein theoretisch muss der Kaffee zunächst mal nach dieser Funktion abkühlen.

Und bei 50 °C siehst Du ja, dass der Kaffee in den nächsten 5 Minuten um 5 Grad abkühlt. Also ein Grad pro Minute. Da sind die 1,28 von der Theorie gar nicht so daneben.

Dass hier etwas zuwenig rauskommt, hat verschiedene Gründe.

Zum einen müssten wir die Steigung eigentlich exakt in diesem Punkt bestimmen, also streng genommen ein Lineal dort anlegen und ablesen. Dort ist das Gefälle ja noch etwas steiler, es nimmt ja laufend ab.

Zum andern beginnt sich hier schon die "Beule" auszuwirken, also die Messverfälschung durch was auch immer. Ohnehin ist ja eh nicht bekannt, wie genau Du Temperatur und Zeit gemessen hast. Ein Physiker würde durch jeden Punkt ein sogenanntes Messkreuz zeichnen, das die möglichen Abweichungen nach links/rechts/oben/unten zeigt. Wo also die Kurve auch durchgehen könnte.

Weiterhin ist das berechnete a ja nicht -0,04, sondern eher bei -0,038. Das könnte auch was ausmachen.

Und schließlich sollte man auch dieses a nicht nur aus einem einzigen Punkt herleiten, sondern noch ein paar Punkte mehr in die Berechnung einfließen lassen.

Aber insgesamt wird das wohl eine hübsche Präsentation. Viel Erfolg!

Viele Grüße
Steffen
Jannis12 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das war sehr hilfreich. Ohne sie hätte ich es glaube ich nicht geschafft. Vielen Danke nochmal! smile
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