Gerade und Ebenen

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lukas93 Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade und Ebenen
Meine Frage:
Hallo habe hier eine Klausuraufgabe die ich einfach nicht hin bekomme.

Gegeben ist eine Gerade G und eine Ebene E:


G:x= (2,1,14)+a(3,7,1) E:x=(2,1,14) + s(0,3,4) + t(3,10,5)

Gerade G liegt in Ebene E

Bestimmen sie eine Gerade H (in Punkt-Richtungs-Form), die durch den Punkt (2,1,14) geht, in der Ebene E liegt und senkrecht auf G steht.


Meine Ideen:
Meine Idee war es die Ebene erst in Koordinatenform zu bringen:

-25x1+12x2-9x3=-164

Danach habe ich das Skalarprodukt von der gerade G und H aufgestellt und Null gesetzt, da es so ja orthogonal ist. kommt das bei raus:

3x1+7x2+x3=0

Nun habe ich 2 gleichungen aber leider 3 unbekannte, komme also nicht mehr weiter. hoffe ihr könnt helfen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal eine Frage: Was sind bei deinem Skalarprodukt die Variablen x1, x2, x3?
----
Und noch ein Hinweis: Richtungs- und Normalvektoren sind bis auf ihre Länge bestimmt.

mY+
 
 
lukas93 Auf diesen Beitrag antworten »

die x1,x2,x3 stehen für die unbekannten, also die richtungsform der Gerade H. Den Punkt haben wir ja schon mit (2,1,14)

hm mit deinem Hinweis kann ich leider wenig anfangen ... unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn schon, wären x1, x2, x3 die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden h. Davon könnte man eine als gegeben annehmen, weil Richtungsvektoren beliebig lang sein könnten.

Im Weiteren ist dieser Weg aber ziemlich mühsam, ich schlage dir einen anderen - geometrischen - vor:
Die gesuchte Gerade (h) ist die Schnittgerade der zu g normalen Ebene durch den Punkt (2; 1; 14) mit der gegebenen Ebene E.

Kannst du damit mehr anfangen?

mY+
lukas93 Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann damit irgendwie echt nix anfangen.... und wenn ich bei meiner rechnung etwas für x3 z.b. annehme kommt da auch nur misst raus -.-

die aufgabe schafft mich -.-
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, was ist denn damit:

Zitat:
Original von mYthos
... ich schlage dir einen anderen - geometrischen - vor:
Die gesuchte Gerade (h) ist die Schnittgerade der zu g normalen Ebene durch den Punkt (2; 1; 14) mit der gegebenen Ebene E.

Warum willst du das nicht so machen? Das geht ziemlich schnell.
Die gegenständliche Normalebene auf g geht durch den Punkt (2; 1; 14) und hat den Normalvektor (3; 7; 1) [d.i. der Richtungsvektor der Geraden g]
Wie lautet dann ihre Gleichung?
lukas93 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, also ich habe jetzt mal ihren Vorschlag versucht, ich komme nun auf das richtige ergebnis, aber nur wenn ich die beiden aufpunkte der normalenform streiche, ich schicke mal ein foto dazu. darf ich einfach die aufpunkte streichen und dann in die koordinatenform umwandeln? weil den stützvektor für die gerade habe ich ja schon gegeben.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Aufpunkte weglässt, handelt es sich nicht mehr um die ursprünglichen Ebenen, sondern um jeweils parallele und sie gehen dann beide durch den Nullpunkt.
Demzufolge würde deren Schnittgerade ebenfalls durch den Nullpunkt gehen, was effektiv falsch ist.
------
Irgendwann hast du x2 = 2 angenommen (woher?) und dann zufällig das richtige Ergebnis erhalten.
Ausserdem muss ja die Schnittgerade berechnet werden und du gehst hingegen auf einen einzelnen Punkt los. Diesen funktionierst du dann einfach auf einen Richtungsvektor um ... verwirrt
Gehe doch von den Ebenen aus, welche du anfangs im Blatt stehen hast und streiche die Stützpunkte natürlich NICHT:




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Da wir wissen, dass die Lösung eine Gerade und somit einparametrig ist, können wir eine der beiden Variablen mit einem Parameter belegen (dies ist dann auch jener der Geradengleichung).

Setze vorteilhaft (damit werden Brüche vermieden) und berechne damit

[ ]

So funktioniert prinzipiell immer die Ermittlung der Gleichung der Schnittgerade zweier Ebenen.

Hier haben wir jedoch noch einen Vorteil, den wir alternativ ebenso ausnützen könnten:
Wir kennen bereits einen Punkt auf der Schnittgeraden, das ist der gemeinsame Punkt beider Ebenen --> (2; 1; 14), so brauchen wir nur noch den Richtungsvektor der gesuchten Geraden h.
Dieser entsteht aus dem Vektorprodukt der beiden Normalvektoren der Ebenen (!)



Damit ersparst du dir die Rechnung über das Gleichungssystem.

mY+
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