Satz von Runge

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08.03.2017, 16:52	bellze	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Runge Meine Frage: Ich muss für ein Seminar zur komplexen Approximation folgende Aufgabe lösen, nur ist meine Analysis 4 Vorlesung schon so lange her, dass ich einfach nichts mehr verstehe...Vielleicht kann mir ja jemand helfen. folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} D:=\{z:\|z\|<1\} \end{eqnarray}$ die offene Einheitskreisscheibe und $\begin{eqnarray} \mathcal{P} \end{eqnarray}$ die Menge aller Polynome der Form $\begin{eqnarray} P(z)= 1+ \sum\limits_{\nu=1}^{n} a_{\nu}z^{\nu} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{\nu} \neq 0, n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: a) Für jedes $\begin{eqnarray} P \in \mathcal{P} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lVert P \rVert_{\partial D}=\displaystyle \max_{z\in \partial D} \rvert P(z)\rvert >1 \end{eqnarray}$ b) Sei $\begin{eqnarray} K \subset \partial D \end{eqnarray}$ ein nichtleeres Kompaktum, $\begin{eqnarray} K\neq \partial D \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gibt es ein Polynom $\begin{eqnarray} P\in \mathcal{P} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lVert P \rVert_{K}=\displaystyle\max_{z\in K} \rvert P(z)\rvert < \epsilon. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe keine Ahnung was hier ein Ansatz sein könnte, nur dass ich iwo den Satz von runge benutzen können sollte. Latex korrigiert und Korrekturbeitrag entfernt.
08.03.2017, 19:14	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den ersten Teil solltest du dir das Maximumsprinzip nochmal ansehen. Noch ein Tipp: $\begin{align} P(0) = 1 \end{align}$ . Für den zweiten Teil beachte, dass $\begin{align} K \cup\{0\} \end{align}$ eine Mergelyan-Menge ist, d.h. ein Kompaktum mit zusammenhängendem Komplement.
08.03.2017, 22:58	bellze	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Clearly_wrong, also zu Teil a) Es sind für das Maximumsprinzip alle Bedingungen erfüllt, da D ein beschränktes Gebiet ist, P(z) stetig und holomorph auf $\begin{eqnarray} \bar D \end{eqnarray}$ , da P(z) ein Polynom ist. D.h also dass $\begin{eqnarray} \rvert P(z) \rvert \leq \displaystyle \max_{z \in \partial D} \rvert P(z) \rvert \end{eqnarray}$ . Und da P(0)=1 und z in D liegt ist muss das Maximum des Betrages größer sein als 1 also folgt mit dem Maximumsprinzip: $\begin{eqnarray} P(0)=1< \rvert P(z) \rvert \leq \displaystyle \max_{z \in \partial D} \rvert P(z) \rvert \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit?
08.03.2017, 23:33	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus dieser Überlegung folgt erstmal nur, dass $\begin{align} 1\leq \max_{z \in \partial D} \rvert P(z) \rvert \end{align}$ . Du wolltest aber $\begin{align} < \end{align}$ . Dafür musst du dir noch etwas überlegen
08.03.2017, 23:56	bellze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, dass die Summe in P(z) immer echt größer Null ist im Betrag außer bei z=0?
09.03.2017, 00:10	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte das so sein? Vergleiche mit $\begin{align} 1+z \end{align}$ zum Beispiel für $\begin{align} z=-\frac 12 \end{align}$ .
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09.03.2017, 00:20	bellze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt, ich hatte nur an den Betrag gedacht, aber den darf ich ja nicht einfach einzeln schreiben... Also ich glaube ich muss trotzdem etwas über die Summe sagen können, aber ich habe keine Idee mehr was. Hast du vll noch einen Tipp?
09.03.2017, 00:40	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Holomorphe Funktionen haben auf offenen Mengen keine globalen Maxima, es sei denn, sie sind konstant.
09.03.2017, 09:31	bellze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dh also, dass P(z) kein globales Maximum auf D annimmt, da D eine offene Menge ist und P(z) nicht konstant und deshalb P(z) sein gloables Maximum auf dem Rand von D annimmt?
09.03.2017, 11:25	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, also muss das globale Maximum noch größer sein, als jeder Funktionswert im Inneren.
09.03.2017, 19:49	bellze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke, dann ist der erste Teil ja geklärt! Beim zweiten teil weiß ich allerdings nicht, was es mir bringt, dass das eine Mergelyan Menge ist.
10.03.2017, 01:29	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz von Runge besagt, dass du jede Funktion in $\begin{align} H(K\cup\{0\}) \end{align}$ durch Polynome beliebig gut approximieren kannst. Du brauchst bloß noch eine passende Funktion zum approximieren finden.

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