Vereinigung von zusammenhängenden Teilmengen

08.03.2017, 19:56

Sito

Vereinigung von zusammenhängenden Teilmengen

Guten Abend zusammen,

wir haben vor ein oder zwei Tagen in Analysis ein Lemma zum im Titel genannten Thema bewiesen, bei dem ich nicht wirklich mitgekommen bin, bzw. den Beweis nicht verstanden habe.

Lemma: Sei $\begin{eqnarray*} (X, d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} Y_1,Y_2 \end{eqnarray*}$ zwei zusammenhängende Teilräume. Falls ihr Schnitt $\begin{eqnarray*} Y_1 \cap Y_2 \end{eqnarray*}$ nicht-leer ist, dann ist die Vereingung $\begin{eqnarray*} Y_1 \cup Y_2 \end{eqnarray*}$ zusammenhängend.

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine nicht-leere, abgeschlossene und offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y_1 \cup Y_2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} A\cap Y_j \end{eqnarray*}$ eine abgeschlossene und offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \in \{1, 2\} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht-leer ist, ist einer dieser beiden Schnitte nicht-leer – sagen wir $\begin{eqnarray*} A \cap Y_1 \end{eqnarray*}$ ist nicht-leer. Da $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist, folgt $\begin{eqnarray*} A \cap Y_1 = Y_1 \end{eqnarray*}$ oder äquivalent $\begin{eqnarray*} Y_1 \subseteq A \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} Y_1 \cap Y_2\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A \cap Y_2\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und somit genauso $\begin{eqnarray*} A \cap Y_2 = Y_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_2 \subseteq A \end{eqnarray*}$ . Zusammenfassend ergibt sich $\begin{eqnarray*} A = Y_1 \cup Y_2 \end{eqnarray*}$ . Dies beweist, dass $\begin{eqnarray*} Y_1 \cup Y_2 \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist.

Zwei Punkte irritieren mich hier:

Wieso ist $\begin{eqnarray*} A \cap Y_1 = Y_1 \end{eqnarray*}$ ?
Wie ganu kann man sich eine offene und gleichzeigt abgeschlossene Menge vorstellen? Ist das ungefähr so etwas wie das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,4) \end{eqnarray*}$

Hoffe mal jemand kann mir hier etwas weiterhelfen.
Gruss Sito

08.03.2017, 20:52

Clearly_wrong

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Zum ersten Punkt: Magst du einmal die Definition von Zusammenhang nachschlagen?
Zum weiten Punkt: Nein, das Intervall $\begin{align*} [0,4) \end{align*}$ ist nicht offen und abgeschlossen (in $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ ), sondern weder noch. Eine Teilmenge $\begin{align*} U \end{align*}$ eines metrischen Raumes heißt offen, wenn jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist, d.h. für jedes $\begin{align*} x\in U \end{align*}$ gibt es ein $\begin{align*} \epsilon>0 \end{align*}$ , so dass $\begin{align*} B(x,\epsilon)\subset U \end{align*}$ . Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

In den metrischen Räumen, die dir so verschweben, sind offene und abgeschlossene Mengen¹ selten, eben weil wahrscheinlich die meisten Räume, die dir vorschweben, zusammenhängend sind. Dort sind nur die leere Menge und der ganze Raum clopen.
In dem metrischen Raum $\begin{align*} ([0,1]\cup [2,3], d) \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} d \end{align*}$ die euklidische Metrik ist, sind zum Beispiel die beiden Mengen $\begin{align*} [0,1],[2,3] \end{align*}$ zusätzlich noch clopen. Etwas allgemeiner sind definitionsgemäß alle Zusammenhangskomponenten eines Raumes immer clopen.

¹Man nennt solche Mengen clopen, kommt vom Englischen closed and open.

08.03.2017, 21:04

Sito

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Vielen Dank für die Ausführungen zur zweiten Frage.

Zitat:

Magst du einmal die Definition von Zusammenhang nachschlagen?

Das habe ich gemacht, nur leider komme ich damit auch nicht wirklich weiter.

Def: Sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein nicht-leerer metrischer Raum. Wir nennen $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ zusammenhängend, falls es keine zwei offene nicht-leere Teilmengen $\begin{eqnarray*} O_1,O_2 \subseteq X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} X=O_1 \sqcup O_2 \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe aber nicht, wie ich aus dieser Def. schiessen soll, dass $\begin{eqnarray*} A \cap Y_1 =Y_1 \end{eqnarray*}$ ist. Ich meine ich weiss ja nur, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht-leer ist und $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ auch nicht, weiter nehmen wir an, dass der Schnitt der beiden Mengen nicht-leer ist, aber wieso soll dann dieser Schnitt gerade ganz $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ sein.

08.03.2017, 21:31

Clearly_wrong

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Man kann zeigen, dass diese Definition dazu äquivalent ist, dass die einzigen clopen sets des Raums der ganze Raum oder die leere Menge ist. Gibt es nämlich ein $\begin{align*} \emptyset \neq A\neq X \end{align*}$ , sodass $\begin{align*} A \end{align*}$ offen und abgeschlossen ist, so ist $\begin{align*} X = A\sqcup A^c \end{align*}$ eine Zerlegung des Raumes wie in der Definition. Hilft das weiter?

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