Bedingte Wahrscheinlichkeit

10.03.2017, 09:33	razzbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit Meine Aufgabe: Eine Urne besitzt 2 rote und 3 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird gezogen. Diese Kugel und eine weitere Kugel derselben Farbe werden zurückgelegt. Danach wird wieder eine weitere Kugel gezogen. Sie sei rot. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot war. Meine Idee: Anwendung des Satz von Bayes. Allerdings bin ich mir nicht sicher, welches mein A und welches mein B ist. $\begin{eqnarray} <br /> P(ROT) = \frac{2}{5}<br /> P(NICHT-ROT) = \frac{3}{5}<br /> P(2.Kugel ROT) = \frac{1}{5}<br /> P(2.Kugel NICHT-ROT) = \frac{2}{5}<br /> <br /> P(A\|B) = \frac{P(B\|A)P(A)}{P(B)}<br /> \end{eqnarray}$ Ich würde nun folgendermaßen einsetzen: $\begin{eqnarray} \frac{P(B\|A)P(ROT)}{P(NICHT-ROT)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B\|A) = \frac{P(B und A)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}} \end{eqnarray}$ Ist das so korrekt? Hoffe ihr könnt mir dabei weiterhelfen Gruß Chris
10.03.2017, 11:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
A , B sind keine Pflichtsymbole. Verwende deine eigenen Symbole für die Ereignisse. Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ = Rot im ersten Versuch $\begin{eqnarray} S_1= R_1^c \end{eqnarray}$ = Schwarz oder nicht-Rot im ersten Versuch und mit Index 2 = Beides im 2. Versuch. So wird es lesbar.
11.03.2017, 19:46	razzbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Dann habe ich folgende Ereignisse: $\begin{eqnarray} <br /> P(ROT) = \frac{2}{5}<br /> <br /> P(ROT^c) = \frac{3}{5}<br /> <br /> P(ROT_{2}) = \frac{2}{5} \frac{3}{6} + \frac{3}{5} * \frac{2}{6} = \frac{2}{5}<br /> <br /> P(ROT_{2} \| ROT_{1}) = \frac{2}{5} * \frac{3}{6} = \frac{1}{5}<br /> <br /> P(ROT_{1} \|ROT_{2}^c) = \frac{3}{5} * \frac{2}{6}<br /> \end{eqnarray}$ Gesucht ist: $\begin{eqnarray} P(ROT_{1} \| ROT_{2}) = ? \end{eqnarray}$ Ich nehme folgende Gleichung (irgendwie hat das mit LaTeX nicht geklappt, daher in Textform): $\begin{eqnarray} P(ROT_{1}\|ROT_{2}) = \end{eqnarray}$ Zähler : ( P(ROT_2 \| ROT_1) P(ROT) ) / Nenner : ( P(ROT_2) * P(ROT) + P(ROT_2 \| ROT_1^c) * P(ROT^c) ) und setze ein: $\begin{eqnarray} <br /> P(ROT_{1} \|ROT_{2}) = \frac{ \frac{1}{5} \frac{2}{5}}{ \frac{1}{5} * \frac{2}{5} + \frac{1}{5} * \frac{3}{5}} \end{eqnarray*}$ Ich würde mich freuen, wenn ihr mir dazu eine Rückmeldung geben könntet Gruß Chris
11.03.2017, 23:40	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> P(R_1 \|R_2) =\frac {p(R1\cap R_2)} { p(R_2)}= \frac{ \frac25 \cdot \frac12 } { \frac25\cdot \frac12 + \frac35 \cdot \frac13}=\tfrac 12 \end{eqnarray}$ Du schreibst einen hohen Formalismus, was an sich nicht verkehrt ist. Da besteht die Gefahr - wie bei dir - sich zu verheddern und oder den Überblick zu verlieren. Man merkt sich: Der Zähler ist der "Pfad RR". Der Nenner ist der "Zählerpfad + alle weiteren die mit R enden = RR+SR." das führt zur totalen Wkt von R2. Oben ist das einfach ablesbar, sogar die Reihenfolge in den Produkten ist nachvollziehbar. Wenn du das verinnerlicht hast, kannst du immer die Formel von Bayes leicht rekonstruieren. Hier wird der Satz so verwendet, dass von Wirkung [ R2 ] auf Ursache [ R1 ] geschlossen wird. Das ist das Lernziel für die Schule und nicht das Auswendiglernen einer Formel mit den Buchstaben A B noch Fragen?
12.03.2017, 20:15	razzbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar Vielen Dank' dir. Ich rechne noch einige Aufgaben, um mein Verständnis zu verbessern.

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