Integral einer Funktion, die in einem Punkt ungleich 0 ist.

10.03.2017, 22:41

mhhhmmmmm

Integral einer Funktion, die in einem Punkt ungleich 0 ist.

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine kurze Frage; ich habe eine Aufgabe bearbeitet, in der es darum ging, zu zeigen, dass das Skalarprodukt stetiger Funktionen, $\begin{eqnarray*} (f,g) = \int_{a}^{b} \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , tatsächlich ein Skalarprodukt ist.

Meine Ideen:
Es ist ja zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (f,f) = \int_{a}^{b} \! f(x)^2 \, dx = 0 \Leftarrow \Rightarrow f = 0. \end{eqnarray*}$
Dass aus f = 0 folgt, dass das bestimmte Integral 0 sein muss, ist klar.
Für die andere Richtung habe ich mir überlegt, dass f ja eine stetige Funktion ist, und dass, wenn es ein x gäbe, für das f(x) ungleich 0 ist, die Werte für f in der Umgebung auch ungleich 0 wären, und man das Ganze dann mit einer Treppenfunktion annähern (also Riemann-integrieren?) könnte, das Integral also ungleich null wäre (Widerspruch).

Ich frage mich jetzt nur, wenn ich ein Integral hätte, das 0 ist, und nicht bekannt wäre, ob die Funktion stetig ist, würde dann automatisch trotzdem folgen, dass f = 0 ist?
Oder könnte es sein, dass $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x)^2 \, dx = 0 \end{eqnarray*}$ , aber dass f stellenweise ungleich 0 ist? Also wenn es jetzt nur einen einzigen Punkt gäbe, an dem f ungleich 0, was wäre dann das Integral?

Ich weiß, es tut für die Aufgabe eigentlich nichts zur Sache, aber es beschäftigt mich doch irgendwie. ^^

10.03.2017, 22:53

005

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RE: Integral einer Funktion, die in einem Punkt ungleich 0 ist.
Wenn man eine Funktion willkuerlich an endlich vielen Stellen abaendert, dann hat das keinen Einfluss auf die (Riemann-)Integrierbarkeit der Funktion und (im Falle der Integrierbarkeit) auf den Wert des Integrals.

10.03.2017, 23:04

mhhhmmmmm

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RE: Integral einer Funktion, die in einem Punkt ungleich 0 ist.
Okay, also das heißt, dass das Integral null sein könnte, die Funktion aber nicht an jeder Stelle null sein müsste (wenn sie nicht stetig ist)(?)

Also liegt die Argumentation in meiner Aufgabe darin, zu sagen, dass f stetig ist.

Danke Big Laugh

Aber warum ist denn zum Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ \begin{pmatrix} 1, x in Q \\ 0, x nicht in Q \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ nicht Riemann-integrierbar?

10.03.2017, 23:09

mhhhmmmmm

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RE: Integral einer Funktion, die in einem Punkt ungleich 0 ist.
Ach so, weil es dann nicht mehr endlich viele Abänderungen wären? ^^ ...

11.03.2017, 07:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von mhhhmmmmm
Ach so, weil es dann nicht mehr endlich viele Abänderungen wären?

So kannst du nicht argumentieren, denn die Erhaltung der Riemann-Integrierbarkeit bei nur endlich vielen Abänderungen ist hinreichend, aber nicht notwendig: Z.B. ist die Funktion

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} &\;\mbox{für $x=\frac{p}{q}$ mit $p,q\in\mathbb{Z},q>0$ sowie $p,q$ teilerfremd}\\ 0 &\;\mbox{für}\,x\not\in\mathbb{Q}\end{cases} \end{align*}$

durchaus auf $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ riemannintegrierbar. Augenzwinkern

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Integral einer Funktion, die in einem Punkt ungleich 0 ist.

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