Partikuläre Lösung DGL

11.03.2017, 18:04

tooob93

Partikuläre Lösung DGL

Meine Frage:
Hallo Community,

Ich habe das Problem die Partikuläre Lösung zu der Aufgabe auf dem ersten Bild zu lösen

Dabei bekamen wir für die Homogene Lösung das zweite Bild heraus

Nun sollte die Partikuläre Lösung berechnet werden, doch da fangen meine Probleme ziemlich direkt an. Ich verstehe schon nicht, woher die Matritzen in dieser Form kommen, geschweige denn woher das 1/3*e^-x kommt. Ich wäre euch riesig für eure Hilfe dankbar.

Meine Ideen:
Ideen habe ich hierzu nicht, ich habe die Homogene Lösung herausbekommen, aber hier habe ich absolut keine Ahnung.

12.03.2017, 11:35

Mathema

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Hallo tooob93,

soll das deine Lösung oder eine Musterlösung sein? Irgendwie stecken da meiner Meinung nach viele (Schreib-) Fehler drin - etwas merkwürdig.

Zitat:

Ich verstehe schon nicht, woher die Matritzen in dieser Form kommen, geschweige denn woher das 1/3*e^-x kommt.

1. Meinst du 1/3*e^(-s)?

2. Der Ansatz steht doch da:

$\begin{eqnarray*} y_p(x)=Y(x)\int_{0}^{x} \! Y(s)^{-1}b(s) \, \dd s \end{eqnarray*}$

3. Wo ist nun das Problem? Wie du eine inverse Matrix angibst musst du natürlich wissen oder nachschlagen.

4. Für weitere Fragen schreibe bitte direkt ins Forum und hänge nicht Bilder an. Dann können wir besser kopieren und Fehler gleich markieren. So bin ich gerade zu faul alles noch mal abzuschreiben.

13.03.2017, 15:49

HAL 9000

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Übrigens: Wenn man hier eh mit Fundamentalmatrix $\begin{align*} Y(x) \end{align*}$ operiert, dann kann man auch gleich die vollständige Lösung des AWP damit angeben, d.h., unter Einbeziehung des gegebenen Anfangswertvektors $\begin{align*} y(0)=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix} \end{align*}$ ist das

$\begin{align*} y(x) = Y(x)\left( Y(0)^{-1}y(0) + \int\limits_0^x Y(s)^{-1}b(s) ~ \dd s\right) \end{align*}$ .

Anzumerken wäre noch, dass die Rechnung oben (allerdings wie von Mathema erwähnt leider mit einigen Fehlern) im wesentlichen auf der Diagonalisierung $\begin{align*} A = \begin{pmatrix}2&3\\6&-1\end{pmatrix} = T\Lambda T^{-1} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \Lambda = \begin{pmatrix}-4&0\\0&5\end{pmatrix} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} T = \begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix} \end{align*}$ fußt, hier ist insbesondere $\begin{align*} T^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix} \end{align*}$ .

Fundamentalmatrix ist dann $\begin{align*} Y(x) = T\begin{pmatrix}e^{-4x}&0\\0&e^{5x}\end{pmatrix} \end{align*}$ , woraus sich mit $\begin{align*} Y(s)^{-1} = \begin{pmatrix}e^{4s}&0\\0&e^{-5s}\end{pmatrix}T^{-1} \end{align*}$ alles weitere dann ergibt.

13.03.2017, 20:00

tooob93

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RE: Partikuläre Lösung DGL
Hallo HAL 9000 und Mathema,

vielen Dank für eure schnellen und ausführlichen Antworten. Ich werde es mir zu Herzen nehmen in Zukunft die Formeln reinzuschreiben, das ergibt hier wirklich mehr Sinn.

Ja, das war die Musterlösung, allerdings wurde vor kurzem auf die Fehler in der Lösung aufmerksam gemacht, womit ich es jetzt auch endlich besser nachvollziehen kann.

Mein Problem war ursprünglich, dass ich nicht nachvollziehen konnte, wie die Inverse Matrix zustande kam, da ich sie zudem falsch berechnet hatte.

Ich danke euch vielsmals, die ganze Thematik ist bisher noch komplett neu für mich, aber dank euch habe ich ein ganzes Stück mehr verstanden.

LG, Tooob

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