Determinante, Lineare Abhängigkeit und Linearkombination

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Blaque Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante, Lineare Abhängigkeit und Linearkombination
Hallo,

ich bin gerade am Lernen und versuche mir den Zusammenhang zwischen der Determinante, linearen Abhängigkeit und Linearkombinationen zu verdeutlichen. Für mich klingt das aber teilweise alles sehr widersprüchlich.

Mein Beispiel:



Schaue ich mir das Vektorsystem der Koeffizientenmatrix an, sind diese ja linear unabhängig. Ich kann keinen Vektor von ihnen als Linearkombination der übrigen darstellen lassen. D.h. es gibt nur eine triviale Lösung. Berechne ich jetzt aber die Determinante der Koeffizientenmatrix, bekomme ich det(A) = 0 raus, was ja bedeutet, dass die Koeffizientenmatrix linear abhängig ist und damit mehrdeutig oder gar nicht lösbar ist.

Das verwirrt mich ungemein böse

Grüße
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast Du anscheinend vorschnell geurteilt: Die Vektoren sind linear abhängig. Einer der drei lässt sich sehr wohl durch die anderen beiden darstellen.

Beispielsweise ist
Blaque Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke schön. Habe ich wohl übersehen. Jetzt ergibt das auch wieder alles Sinn smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du siehst den Vektoren im allgemeinen ihre lineare Abhängigkeit oder Unabhängiogkeit nicht an. Da ist schon eine Rechnung gefordert. Eine Möglichkeit die zu umgehen ist die erwähnte Berechnung der Determinante.
Blaque Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Du siehst den Vektoren im allgemeinen ihre lineare Abhängigkeit oder Unabhängiogkeit nicht an. Da ist schon eine Rechnung gefordert. Eine Möglichkeit die zu umgehen ist die erwähnte Berechnung der Determinante.


Was mache ich mit Matrizen, bei denen das Ausrechnen der Determinante zu aufwändig ist, das Überprüfen der linearen Abhängigkeit aber auch? Wir hatten in der letzten Klausur nämlich eine Matrix, bei der das der Fall war. Das Ausrechnen der Determinante bzw. das Überprüfen der linearen Abhängigkeit hätte länger gedauert, als für eine Aufgabe gedacht (10 - 15 Min).
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne die Matrix zu kennen, wird es schwierig Dir darauf eine Antwort zu geben.

Von einer 3x3-Matrix ist, gerade mit einem normalerweise in Uni-Klausuren erlaubten Taschenrechner, die Determinante in weniger als einer Minute berechnet. Sollte die Matrix größer sein, gibt es die Laplace-Entwicklung oder halt das Gauß-Verfahren, um eine Entscheigung zu treffen.
Eventuell hatte die Matrix auch eine einfache Gestalt, die Rückschlüsse auf die (Un)abhängigkeit der Zeilen oder Spalten gab, oder es waren Eigenwerte bekannt.

Wie gesagt: Ohne die Matrix zu kennen, kann ich nur ins blaue raten. Es erscheint mir aber abwegig, dass eine unlösbare Aufgabe gestellt wurde.
 
 
Blaque Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal die Matrix rausgekramt... dabei handelt es sich um ein homogenes LGS.


Gefragt ist nach Rang, Determinante und Dimension der Lösungsmenge.

Ich habe die Matrix mal in einen Determinantenrechner eingetragen, die Determinante ist immer 0 - unabhängig von Lambda. D.h. das Vektorsystem ist linear abhängig.

Mein Ansatz wäre gewesen, die Determinante durch die lineare Abhängigkeit zu ermitteln, da das Errechnen der Determinante in dieser Matrix viel zu aufwändig wäre.

Wie könnte ich bei diesem Vektorsystem die lineare Abhängigkeit bestimmen? Muss ich zum Ermitteln des Ranges ein LGS durchführen oder kann ich das in diesem Fall auch ablesen?

Und wie soll ich da die Dimension bestimmen? Gibt es die Dimension denn nicht nur bei linear unabhängigen Vektorsystemen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Subtrahiere die 3. Spalte von der 4. Spalte und dann die 2. Spalte von der 3. Spalte - und schon ist klar, dass die Spaltenvektoren linear abhängig sind, also die Determinante 0 ist, da ändert auch die 1. Spalte nichts und das schon gar nicht. Wer lieber mit Zeilen arbeitet, der kommt genau so schnell zum Ziel.
Für =1 schafft man sich so 3 gleiche Vektoren in der Matrix, sonst nur 2, daraus liest man sofort den Rang der Matrix ab und damit ist die Dimension des Lösungsraums nach dem Rangsatz klar.
(Die Überlegungen dauern 1 Minute, die Rechnung 2 Minuten Augenzwinkern )
Blaque Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Subtrahiere die 3. Spalte von der 4. Spalte und dann die 2. Spalte von der 3. Spalte - und schon ist klar, dass die Spaltenvektoren linear abhängig sind, also die Determinante 0 ist, da ändert auch die 1. Spalte nichts und das schon gar nicht. Wer lieber mit Zeilen arbeitet, der kommt genau so schnell zum Ziel.
Für =1 schafft man sich so 3 gleiche Vektoren in der Matrix, sonst nur 2, daraus liest man sofort den Rang der Matrix ab und damit ist die Dimension des Lösungsraums nach dem Rangsatz klar.
(Die Überlegungen dauern 1 Minute, die Rechnung 2 Minuten Augenzwinkern )


Was meinst du mit 3 gleiche Vektoren in der Matrix? Und was ist der Rangsatz?
Wenn ich = 1 habe, ist mein Rang 2, für alles andere Rang 3 - verstehe da nicht wirklich den Zusammenhang mit den 3 bzw. 2 gleichen Vektoren in einer Matrix.

Wir haben zwar Ränge gehabt in der Vorlesung, leider aber nicht den Rangsatz.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Gauß-Algorithmus ergibt sich so wie ich es vorgeschlagen habe

, also rang=2

und für

, also rang=3

Rangsatz: siehe z.B. hier https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz
Man sieht das am Ende des Gauß-Algorithmus auch direkt, weil hier 2 bzw. 1 Parameter frei gewählt werden können, hat der Kern, also der Lösungsraum des homogenen LGS, die Dimension 2=4-2 oder 1=4-3
Blaque Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

alles klar, danke dir. Ich denke, ich habe es verstanden.

ich habe noch eine weitere Sache ausprobiert. Der Rang einer Matrix ist ja auch die Anzahl der linear unabhängigen Spalten- bzw. Zeilenvektoren.

Wenn ich = 1 habe, ist die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren 2 => rg(A) = 2, für = 1. Für 1 bekommt man ja immer 3 unabhängige Spaltenvektoren raus.

Das wäre meine Methode gewesen ohne Gauß-Algorithmus. Ich denke aber, dass die Anwendung des Gauß-Algorithmus da aber sicherer bzw. die Lösung dann offensichtlicher wird smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht. Du hast doch gefragt, wie du den Rang berechnen kannst. Wie willst du das denn ohne Gauß-Algorithmus machen ? Du hast ja noch nicht einmal gewußt, dass die Determinante 0 ist, also hast du nicht gewußt, ob die Vektoren linear unabhängig (det ungleich 0) oder linear abhängig (det=0) sind.
Blaque Auf diesen Beitrag antworten »



Wenn ich die 3. Spalte von der ersten abziehe komme ich ja auf , wenn ich die 2. Spalte von der 3. abziehe, komme ich auf dasselbe, wenn ich die 1. von der 2. Spalte abziehe ebenfalls.

Wenn ich die erste von der 3. Spalte bzw. 4. Spalte abziehe komme ich aber nicht darauf; d.h. ich habe 2 unabhängige Spaltenvektoren und der Rang wäre 2, weiß aber auch, dass das Vektorsystem linear abhängig ist. Daraus kann ich dann ja auch die Determinante schließen.

Dasselbe verfahren halt für 1

Vielleicht habe ich aber auch einfach einen Denkfehler. Der Lösungsweg mit dem Gauß-Algorithmus ist auf jeden Fall einfacher :S
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen davon, dass du hier noch einen Rechenfehler machst, ist das abziehen von Spalten oder Zeilen nichts anderes als der Gauß-Algorithmus. Abziehen heißt doch, dass man das -1fache eines Vektors zum anderen Vektor addiert, das ist Gauß. Bei der Rangbestimmung ist Gauß mit Spalten nichts anderes als Gauß mit Zeilen, beides kann man wegen Spaltenrang=Zeilenrang locker mischen. Erst wenn man den Lösungsraum eines LGS berechnen will, sollte man den Gauß auf Zeilenoperationen beschränken.
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