Extremalprobleme (maximaler Flächeninhalt Rechteck)

12.03.2017, 16:26

SmileyFace

Extremalprobleme (maximaler Flächeninhalt Rechteck)

Guten Tag,
wir haben letzte Woche in Mathe folgende Komplexaufgabe gestellt bekommen:

Ein zur Y-Achse symmetrischer Graph 4. Ordnung verläuft durch den Koordinatenursprung und berührt die Gerade G mit $\begin{eqnarray*} y= 4x - 2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=2.

Der erste Teil der Aufgabe bestand darin die Funktionsgleichung des Graphen zu ermitteln.
Antwort: $\begin{eqnarray*} f(x)= -1/8x^4 + 2x^2 \end{eqnarray*}$

In Teilaufgabe 2 und 3 sollten die Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und die Schnittpunkte des Graphen mit der Gerade G ermittelt werden.
Die Lösungen sind aber für meine Frage unwichtig.

Bis hierhin war alles einfach.
Nun zu meiner Frage.

Teilaufgabe 4:

Die Gerade mit x=u (0<=u<=2,82) schneidet den Graphen von f im Punkt A und die Gerade G im Punkt B.
A und B sind die Eckpunkte eines zur y-Achse symmetrischen Rechtecks.
Für welches u ist der Flächeninhalt des Rechtecks am größten.

Meine bisherigen Überlegungen:

Hauptbedingung: $\begin{eqnarray*} A(a;b) = a*b \end{eqnarray*}$
Nebenbediungung: $\begin{eqnarray*} a= 2u \end{eqnarray*}$ (das müsste eigentlich korrekt sein, da es ein zur y-Achse
symmetrisches Rechteck ist.)

Für b hatte ich folgende Überlegung: $\begin{eqnarray*} b=G(u)-f(u) \end{eqnarray*}$ da der Abstand zwischen dem Graph und der Gerade eigentlich die Höhe des Rechtecks bestimmen müsste.
Leider bin ich nicht auf die korrekte Lösung gekommen.
Ich hab mit Excel eine Wertetabelle angefertigt und der Flächeninhalt des Rechecks ist bei u=2,82 am größten.

Für u=2,82 gilt dann in dem Fall:

$\begin{eqnarray*} a=2*u=2*2,82=5,64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=G(2,82)-f(2,82)=9,28-8=1,28 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=a*b=5,64*1,28=7,21 \end{eqnarray*}$

Das müsste die korrekte Lösung sein, wir haben leider keine Lösung der Lehrerin erhalten.
Ich bedanke mich vielmals für die Mühe und hoffe das meine Gedankengänge etc. nachvollziehbar sind.

12.03.2017, 18:56

Bürgi

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RE: Extremalprobleme (maximaler Flächeninhalt Rechteck)
Guten Abend,

Deine Überlegungen sind völlig richtig.

Warum hast Du Deine Anfangsgleichung nicht weiterbenutzt?

$\begin{eqnarray*} A(a;b) = a*b \end{eqnarray*}$ mit a = 2u und $\begin{eqnarray*} b=G(u)-f(u) \end{eqnarray*}$ ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} A(u)=2u\left( \left(-1/8u^4 + 2u^2 \right) - \left(4u-2 \right) \right) \end{eqnarray*}$

Wenn Du diesen Term ausmultiplizierst, erhältst Du einen Term 5. Grades. Die Ableitungsfunktion ist dann eine Funktion 4. Grades, die nur noch mit einem iterativen Verfahren (z.B. Newton-Verfahren) zu lösen ist.

Wenn Du dann noch statt 2.82 den vermutlich gemeinten Wert $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ benutzt, werden auch die vorbereitenden Umformungen etwas einfacher.

Dann bekommst Du nämlich für den maximalen Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A(2 \sqrt{2})=40 \sqrt{2}-64 \end{eqnarray*}$

12.03.2017, 19:00

Helferlein

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Für dieses Problem spielt es zwar keine Rolle, aber im allgemeinen ist $\begin{align*} b=|g(u)-f(u)| \end{align*}$ zu wählen, denn f verläuft nicht komplett unterhalb von g.

12.03.2017, 19:12

Bürgi

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@Helferlein

Danke für den Hinweis. Idiotischerweise habe ich bei der Flächenberechnung Minuend und Subtrahent vertauscht, entgegen der ursprünglichen Gleichung. Das kommt von copy+paste Hammer

Wenn diese Gleichung benutzt wird:

$\begin{eqnarray*} A(u)=2u\left( \left(4u-2 \right) - \left(-1/8u^4 + 2u^2 \right)\right) \end{eqnarray*}$

hat die Flächengröße das richtige Vorzeichen.

Im Übrigen hat die Flächenfunktion noch ein relatives Maximum bei u = 1.321471123, was aber bei der Größe der Fläche nicht berücksichtigt werden muss.

12.03.2017, 19:19

Helferlein

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@Bürgi: Die Wahrheit liegt in der Mitte, denn für u<0,5 liegt die Gerade unterhalb der Funktion, für 1<u<2 oberhalb (grobe Angaben, den genauen Übergang habe ich nicht berechnet).

Wie gesagt ändert das aber nichts an der maximalen Fläche am Rand.

12.03.2017, 19:42

SmileyFace

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Vielen Dank für eure Hilfe.

@Bürgi:

Könntest du mir eventuell deinen Rechnungsweg nachdem du $\begin{eqnarray*} A(u)=2u\left(%20\left(-1/8u^4%20+%202u^2%20\right)%20-%20\left(4u-2%20\right)%20%20\right) \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert hast schildern bzw. aufschlüsseln?

Das wäre sehr freundlich.

Vielen Dank nochmal für eure Antworten smile

12.03.2017, 20:46

Bürgi

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Hallo,

ich weiß jetzt nicht, wo Deine Probleme liegen. Du könntest ja mal Deine Rechnungen hier veröffentlichen, dann wisen wir auch besser, wo Du noch Unterstützung nötig hast.

Ich habe Folgendes gemacht:

Differenz in der Klammer berechnet.
Klammer mit 2u multipliziert.
Die dadurch entstandene Flächengrößenfunktion abgeleitet, denn Du willst ja einen Extremwert berechnen.
Ableitungsfunktion gleich null gesetzt und die u-Werte numerisch bestimmt.
Mit den u-Werten die dazu gehörenden Flächengrößen bestimmt.
Die Randwerte für u = 0 und $\begin{eqnarray*} u = 2 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ berechnet.

Durch Vergleich aller Flächengrößen das absolute Maximum am rechten Rand des gegebenen Intervalls erhalten.

Ich gehe jetzt davon aus, dass Du mein Kochrezept dazu benutzt diese Rechnungen auszuführen. Wenn Du dabei Schwierigkeiten haben solltest, dann poste Deine Rechnungen, damit wir Dir gezielt weiterhelfen können.

12.03.2017, 22:36

SmileyFace

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Guten Abend,

ich weiß leider gerade selber nicht wo mein Fehler liegt verwirrt

Zu meiner Rechnung:

1. Hab ich wie auch schon im Forum beschrieben, diese $\begin{eqnarray*} A(u)=2u\left(%20\left(-1/8u^4%20+%202u^2%20\right)%20-%20\left(4u-2%20\right)%20%20\right) \end{eqnarray*}$ Gleichung aufgestellt, ausmultipliziert und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} A(u)=1/4u^5-4u^3+8u^2-4u \end{eqnarray*}$

danach hab ich die erste Ableitung der Gleichung gebildet: $\begin{eqnarray*} A1(u)=5/4u^4-12u^2+16u-4 \end{eqnarray*}$

Mit A1(u) hab ich eine Polynomdivision durchgeführt und habe, da $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle der Gleichung ist, durch $\begin{eqnarray*} u-2 \end{eqnarray*}$ dividiert.
Mit folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} A1(u)=5/4u^3+5/2u^2-7u+2 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle habe ich mit dem Newton-Verfahren weitergerechnet.

Ich habe eine Wertetabelle aufgestellt und die u-Werte gesucht die u=0 am nächsten liegen und mit u=0,3 und u=1,3 weitergerechnet.

Durch das Newton-Verfahren bin ich auf folgende Näherungswerte gekommen:

Su1 (0,3314 l 0) Su2 (1,3214 l 0)

Dann habe ich die Flächeninhalt für u=0, u=0,3314, u=1,3214 und $\begin{eqnarray*} u=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ durch das Einsetzen in A(u) berechnet, mit folgenden Ergebnissen:

A(0)=0
A(0,3314)=0,5915
A(1,3214)=0,4611
A( $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )=7,4314

Kann ich die Lösung jetzt nur durch Vergleichen der Flächengrößen erhalten ?
Oder hab ich einen Fehler gemacht?

13.03.2017, 08:23

Bürgi

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Guten Morgen,

das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(u)=1/4u^5-4u^3+8u^2-4u \end{eqnarray*}$

ist das Ergebnis der Umformung dieser Gleichung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(u)=2u\left( \left(4u-2 \right) - \left(-1/8u^4 + 2u^2 \right)\right) \end{eqnarray*}$

und nicht der Gleichung, die Du unter 1. aufgeführt hast.

Deine Ergebnisse sind alle richtig. Und um Deine vorletzte Frage zu beantworten: Ja.
Und die Antwort auf die letzte Frage heißt nein.

13.03.2017, 15:06

SmileyFace

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Zitat:

das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(u)=1/4u^5-4u^3+8u^2-4u \end{eqnarray*}$

ist das Ergebnis der Umformung dieser Gleichung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(u)=2u\left( \left(4u-2 \right) - \left(-1/8u^4 + 2u^2 \right)\right) \end{eqnarray*}$

und nicht der Gleichung, die Du unter 1. aufgeführt hast.

Genau, hab die falsche Gleichung kopiert Hammer

Mir will nur eine Frage nicht aus dem Kopf gehen, warum kann man die $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nicht als Nullstelle der 1. Ableitung berechnen, sondern nur 0,3314 und 1,3214 und warum liegt das relative Maximum im Bereich (0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ u $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) bei 1,3214, wenn doch der Flächeninhalt bei $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ am Größten ist.

Vielen Dank für die wirklich sehr hilfreichen Antworten und Entschuldigung das ich die doch vermutlich recht einfache Aufgabe so sehr in die Länge gezogen habe.

13.03.2017, 15:22

Bürgi

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Guten Tag,
die Nullstellen der Ableitungsfunktion liefern die Extrema, zu denen waagerechte Tangenten gehören.
Wenn eine Funktion über einem Intervall definiert ist, müssen die Ränder des Intervalls gesondert betrachtet werden.

13.03.2017, 15:44

SmileyFace

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Ok vielen Dank smile

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