Norm überprüfen

13.03.2017, 17:51	philip122	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm überprüfen Meine Frage: Überprüfen Sie ob es sich bei $\begin{eqnarray} \| \| \cdot \| \|_{a}:\mathbb R ^{2} ->\mathbb R ; (x_1,x_2)->\sqrt{\| x_1 \| ^{2} + 9\| x_2 \| ^{2} } \end{eqnarray}$ um eine Norm handelt. Meine Ideen: Um zu überprüfen ob es sich um eine Norm handelt, müssen die 3 Bedingungen (Definitheit, absolute Homogenität und Dreiecksungleichung) erfüllt sein.... Die ersten 2 bedingungen habe ich bereits überprüft und sie treffen zu, aber ich komme bei der Dreiecksungleichung nicht mehr weiter.... Mein Ansatz hier wäre, die Norm durch die P-Norm für p=2 abzuschätzen, da ja für die p-Normen die Dreiecksungleichung stimmt (Minkowski-Ungleichung) , aber leide stehe ich bei diesem Ansatz an, da ich nicht mehr zurück auf die a-Norm komme... $\begin{eqnarray} \| \| x+y \| \| _a=\sqrt{\| x_1 + y_1 \| ^{2}+9\| x_2+y_2 \| ^{2} }\leq \sqrt{9\| x_1+y_1 \| ^{2} + 9\| x_2+y_2 \| ^{2} }=3\sqrt{\| x_1+y_1 \| ^{2} + \| x_2+y_2 \| ^{2} }=3\| \| x+y \| \|_2\leq 3(\| \| x \| \|_2+\| \| y \| \|_2) \end{eqnarray}$ Vielen Dank im vorraus!!
13.03.2017, 18:36	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abschätzung, wo du den Faktor 9 hereingebracht hast, war zu grob. Schreibe stattdessen $\begin{align} \sqrt{\|x_1+y_1\|^2+9\|x_2+y_2\|^2} = \sqrt{\|x_1+y_1\|^2+\|3x_2+3y_2\|^2} \end{align}$ . Hier kannst du nun wirklich die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm verwenden, bloß mit den skalierten Vektoren $\begin{align} (x_1,3x_2),(y_1,3y_2) \end{align}$ . Möglichkeit zwei: Weise nach, dass $\begin{align} \langle x,y\rangle_a := x_1y_1+9x_2y_2 \end{align}$ ein Skalarprodukt definiert, das $\begin{align} \\|\cdot\\|_a \end{align}$ induziert. Möglichkeit drei: Zeige ganz allgemein, dass für injektive linearen Abbildungen $\begin{align} T \end{align}$ und eine Norm $\begin{align} \\|\cdot\\| \end{align}$ auch $\begin{align} x\mapsto \\|Tx\\| \end{align}$ eine Norm ist und erkenne deine Aufgabe als Spezialfall.

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