Grenzwert einer Reihe berechnen

13.03.2017, 20:55

Walking Feet

Grenzwert einer Reihe berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich bin neu in dem Forum und würde dennoch mit einer eher kniffligen Frage anfangen :-) Die Aufgabe besteht darin den Grenzwert der folgenden Reihe zu bestimmen. Ich habe jedoch keine Ahnung, wie ich da weiterkomme. Ich habe schon einige Kriterien durchexerziert, bin jedoch noch keinen Schritt weitergekommen. Ich würde mich über jede Hilfe und Idee freuen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^{\infty} [(-1)^{n+1} - (-1)^{n+1} * K_1 + K_2*\sin(\log(n))n^{-K_3}-K_4*\sin(K_5+\log(n))+K_6*\cos(\log(n))n^{-K_3}-K_7\cos(K_8-\log(n))]<br /> \end{eqnarray*}$
Die Konstanten $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} K_7 \end{eqnarray*}$ sind reele Zahlen und frei wählbar (Die Intervalle stehen unten), wobei Werte wie 0 und 1 nicht in Frage kommen, da sie die Reihe ansonsten vereinfachen würden. Die Werte können auch negativ sein! Ich will zeigen, dass diese Reihe konvergiert und gegen welchen Wert, in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$
Wie schon oben erwähnt jeder Hinweis wäre für mich hilfreich. Mir würde es auch weiterhelfen, wenn ihr mir bei einem konkreten Beispiel, also bestimmten Werten für die Konstanten, die Grenzwertbestimmung erklären könnt.

Hier die Intervalle:
$\begin{eqnarray*} <br /> K_1\in]-\sqrt{8};\sqrt{8}[,K_2\in[-1;1],K_3\in]0;1[,K_4\in]-2;2[,K_5\in[-1;1],K_6\in[-1;1],K_7\in]-2;2[<br /> \end{eqnarray*}$
Vielen Dank schon mal im Vorraus,

Euer Walking Feet :-)

Meine Ideen:
Ich habe mich schon an ein paar Kriterien versucht(Integral-, Leiniz,...) jedoch bin ich noch auf keinen Grenzwert gekommen.

13.03.2017, 23:53

Clearly_wrong

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Herzlich Willkommen im Forum smile

Es sieht für mich irgendwie so aus, als hättest du dir die Aufgabe selbst ausgedacht. Ist das wahr? Falls nein, wie lautete die Originalaufgabe, die dich zu diesem Ungetüm geführt hat? Wahrscheinlich hast du da ein paar falsche Abzweigungen genommen.

Die Reihe selbst konvergiert übrigens nicht, außer für sehr spezielle Werte (die du ausgeschlossen hast). Die summierte Folge konvergiert nichtmal gegen 0.

14.03.2017, 09:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Clearly_wrong
Die Reihe selbst konvergiert übrigens nicht, außer für sehr spezielle Werte (die du ausgeschlossen hast).

Das stimmt so nicht ganz:

Für $\begin{align*} K_1=1,K_2=K_4=K_6=K_7=0 \end{align*}$ konvergiert die Reihe mit Reihenwert 0, und die Kombination für diesen Trivialfall ist (soweit ich das sehe) nicht ausgeschlossen. Augenzwinkern

Man kann übrigens per Additionstheoremen zusammenfassen: Es ist

$\begin{align*} \sin(K_5+\log(n)) = \sin(K_5)\cos(\log(n)) + \cos(K_5)\sin(\log(n)) \end{align*}$

$\begin{align*} \cos(K_8-\log(n)) = \cos(K_8)\cos(\log(n)) + \sin(K_8)\sin(\log(n)) \end{align*}$ .

Damit gilt

$\begin{align*} K_4\sin(K_5+\log(n)) + K_7\cos(K_8-\log(n)) = (K_4\sin(K_5)+K_7\cos(K_8))\cos(\log(n)) + (K_4\cos(K_5)+K_7\sin(K_8))\sin(\log(n)) \end{align*}$ .

D.h., statt $\begin{align*} K_4=K_7=0 \end{align*}$ führt auch die kombinierte Bedingung $\begin{align*} K_4\sin(K_5)+K_7\cos(K_8) = 0,K_4\cos(K_5)+K_7\sin(K_8) = 0 \end{align*}$ zur Konvergenz der Reihe. Dieses Gleichungssystem umfasst außer jenem $\begin{align*} K_4=K_7=0 \end{align*}$ auch die reellen Lösungen $\begin{align*} K_5+K_8=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\,K_4=-K_7 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} K_5+K_8=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\,K_4=K_7 \end{align*}$ .

Abgesehen davon dürfte jede abweichende Belegung von $\begin{align*} K_1,K_4,K_7 \end{align*}$ sowie unter Beachtung von $\begin{align*} K_3\leq 1 \end{align*}$ auch von $\begin{align*} K_2,K_6 \end{align*}$ zur Divergenz führen.

14.03.2017, 12:12

Clearly_wrong

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Die Werte $\begin{align*} 0,1 \end{align*}$ wurden ebenfalls für jedes der $\begin{align*} K_i \end{align*}$ ausgeschlossen. Das steht zwar nicht unten bei den Bedingungen aber weiter oben hat er das geschrieben.
Siehe

Zitat:

Die Konstanten $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} K_7 \end{eqnarray*}$ sind reele Zahlen und frei wählbar (Die Intervalle stehen unten), wobei Werte wie 0 und 1 nicht in Frage kommen, da sie die Reihe ansonsten vereinfachen würden.

Insbesondere darf $\begin{align*} K_1 \end{align*}$ nicht gleich $\begin{align*} 1 \end{align*}$ sein, was m.E. die Konvergenz der Reihe unmöglich macht.

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