Extrema lokal global

14.03.2017, 16:58

judoel

Extrema lokal global

Meine Frage:
Hallo,

wenn ich bei einer Funktion die Extrema berechnen soll und dann angeben ob es sich um lokale oder globale extrema handelt wie genau muss ich vorgehen ?

Meine Ideen:
Erste Ableitung null setzen und die Werte die rauskommen sind dann aufjedenfall schonmal lokale Extrema . Um zu bestimmten ob es auch globale extrema sind setze ich die Werte in meine Funktion ein und schaue welche Funktionswerte sie annehmen. Und dann zeige ich ob die funktion auch tatsächlich für alle x kleiner/groeßer gleich dem funktionswert ist ? oder gibts da auch andere Möglichkeiten ?

Grüße

14.03.2017, 17:02

G150317

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RE: Extrema lokal global
Schau mal über google, wie lokale und globale Extrema definiert sind.

14.03.2017, 17:22

judoel

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RE: Extrema lokal global
Ist mir noch garnicht eingefallen.

15.03.2017, 08:27

klarsoweit

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RE: Extrema lokal global

Zitat:

Original von judoel
Erste Ableitung null setzen und die Werte die rauskommen sind dann aufjedenfall schonmal lokale Extrema .

In dieser Form ist das falsch. Bei den Nullstellen der 1. Ableitung können lokale Extrema sein, müssen aber nicht.

Zitat:

Original von judoel
Um zu bestimmten ob es auch globale extrema sind setze ich die Werte in meine Funktion ein und schaue welche Funktionswerte sie annehmen.

Bezüglich der globalen Extrema mußt du die gefundenen lokalen Extrema auch mit den Funktionswerten an den Rändern des Definitionsbereichs abgleichen.
Das Ganze gilt natürlich nur für differenzierbare Funktionen. smile

15.03.2017, 18:26

judoel

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RE: Extrema lokal global
Danke erstmal smile

Ich habe folgende Aufgabe..

f_{n}:\left[0,\infty \right) \Rightarrow \mathbb R
f_{n}(x)= x^n exp(-nx)

Zu bestimmen sind alle lokalen bzw. globalen Maxima der Funktionenfolge.

f'_{n}(x)= nx^{n-1}exp(-nx)-nx^{n}exp(-nx)= x^{n}exp(-nx)(nx^{n-1} -n)

x^{n}exp(-nx)(nx^{n-1} -n) = 0

Meine Nullstellen x_{1}=0 x_{2}=1

So und nun ?..Das sind jetzt also nicht zwangsweise lokale Extrema oder wie ? verwirrt

Und wie genau muss ich vorgehen bzgl. globale maxima?

Grüße!

15.03.2017, 18:28

judoel

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RE: Extrema lokal global
Edit:

$\begin{eqnarray*} f_{n}:\left[0,\infty \right) \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)= x^n exp(-nx) \end{eqnarray*}$

Zu bestimmen sind alle lokalen bzw. globalen Maxima der Funktionenfolge.

$\begin{eqnarray*} f'_{n}(x)= nx^{n-1}exp(-nx)-nx^{n}exp(-nx)= x^{n}exp(-nx)(nx^{n-1} -n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{n}exp(-nx)(nx^{n-1} -n) = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_{1}=0 x_{2}=1 \end{eqnarray*}$

16.03.2017, 09:07

klarsoweit

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RE: Extrema lokal global

Zitat:

Original von judoel
$\begin{eqnarray*} nx^{n-1}exp(-nx)-nx^{n}exp(-nx)= x^{n}exp(-nx)(nx^{n-1} -n) \end{eqnarray*}$

Das ist offensichtlich falsch. Die Nullstellen sind aber witzigerweise richtig. smile

Zitat:

Original von judoel
So und nun ?..Das sind jetzt also nicht zwangsweise lokale Extrema oder wie ? verwirrt

In der Tat. Da x_1 eine Randstelle ist, mußt du nur noch x_2 separat untersuchen.

Zitat:

Original von judoel
Und wie genau muss ich vorgehen bzgl. globale maxima?

Wie gesagt, mußt du die gefundenen lokalen Extrema auch mit den Funktionswerten an den Rändern des Definitionsbereichs abgleichen, in diesem Fall mit f(0) und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ .

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