Standardskalarprodukt, Norm, euklidischer VR, Beweis

15.03.2017, 11:41

Gowri

Standardskalarprodukt, Norm, euklidischer VR, Beweis

Meine Frage:
Hallo Zusammen! Ich habe in der Uni eine Aufgabe bekommen und komme leider nicht weiter...

Meine Ideen:
Z.Z. $\begin{eqnarray*} v \perp w <=> || v+\lambda w|| \geq ||v|| , \forall \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} v \perp w \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} v \perp w = <v,w>= 0 \end{eqnarray*}$

Idee:
Wenn ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} || v+\lambda w|| \geq ||v|| \end{eqnarray*}$ null werden kann, ist es klar warum nicht $\begin{eqnarray*} || v+\lambda w|| \end{eqnarray*}$ strikt grösser ist, sondern ein grösser, gleich Zeichen stehen darf. Oder bin ich auf dem falschen Weg?

Ausgerechnet habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} || v+\lambda w|| = \sqrt{<v+\lambda w,v+\lambda w>}= \sqrt{<v,v>+<v,\lambda w>+<\lambda w,v>+<\lambda w,\lambda w>} \geq \sqrt{<v,v>}=||v|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> <v,v>+2\lambda <w,v>+\lambda^2< w,w> \geq <v,v> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> 2\lambda <w,v>+\lambda^2< w,w> \geq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss ich nicht mehr wie ich weitermachen soll...

15.03.2017, 12:16

Scotty1701D

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RE: Standardskalarprodukt, Norm, euklidischer VR, Beweis

Zitat:

Wenn ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} || v+\lambda w|| \geq ||v|| \end{eqnarray*}$ null werden kann,

Das verstehe ich nicht verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <=> 2\lambda <w,v>+\lambda^2< w,w> \geq 0 \end{eqnarray*}$

Schau dir doch mal den linken Summanden und deine Voraussetzung an.

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