Regel von l'Hospital

15.03.2017, 16:26

LetsTalkAboutMath

Regel von l'Hospital

Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich muss bald in die Nachprüfung in Analysis und hatte ziemliche leichtsinnsfehler in der ersten Klausur und will diesmal wirklich alles besser machen.
Bei l'Hospital habe ich beispielsweise keinen punkt bekommen weil ich davor nicht begründet habe warum ich das überhaupt anwenden darf. Ich habe nur geschrieben , dass es sich um ein Grenzwertprozess der Form "0/0" , oder unendlich durch unendlich handelt..Reicht aber halt nicht.

Meine Ideen:
Voraussetzungen, damit man die Regel von l'Hospital anwenden darf:

Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ existiert
f(x) und g(x) sind in einer Umgebung von x0 differenzierbar
$\begin{eqnarray*} g'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ (zumindest in einer Umgebung von x0)

Meine Frage , was genau ist eigentlicht mit "Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ existiert" gemeint bzw wie zeige ich das ? Ist meistens halt selbstverständlich meiner Meinung nach..
Bei den anderen zwei Punkten reicht es glaube ich es aus wenn ich dies kurz erwähne oder ?

Viele Grüße

Korrekturen aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

15.03.2017, 16:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von LetsTalkAboutMath
Meine Frage , was genau ist eigentlicht mit "Der Grenzwert f verwirrt

x)/g

x) existiert" gemeint bzw wie zeige ich das ? Ist meistens halt selbstverständlich meiner Meinung nach..

Ich nehme an, du meinst hier "der Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*}$ existiert". Das ist durchaus nicht selbstverständlich - Beispiel:

Es ist der Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \frac{x+\sin(x)}{x+\cos(x)} \end{align*}$ zu bestimmen. Ist vom Typ $\begin{align*} \frac{\infty}{\infty} \end{align*}$ , also kann man vermeintlich L'Hospital anwenden, der ergibt $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \frac{1+\cos(x)}{1-\sin(x)} \end{align*}$ , dieser Grenzwert existiert nicht. Daraus aber zu folgern, dass auch der Ausgangsgrenzwert nicht existiert, ist falsch: Tatsächlich gilt der Beschränktheit von $\begin{align*} \sin(x),\cos(x) \end{align*}$ wegen

$\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \frac{x+\sin(x)}{x+\cos(x)} = \lim_{x\to\infty} \frac{1+\frac{\sin(x)}{x}}{1+\frac{\cos(x)}{x}} = 1 \end{align*}$ . smile

Es ist also sehr wohl wichtig, die Existenz von $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*}$ mit als Voraussetzung aufzunehmen.

15.03.2017, 16:44

LetsTalkAboutMath

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Aaaachso ! Jetzt Prinzip verstanden , danke dir sehr ! smile

D.h also ich bilde die Ableitungen und um zu entscheiden ob $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ existiert schaue ich ob die funktion dafür quasi definiert ist bzw. das was "sinnvolles" dabeirauskommt?

15.03.2017, 18:06

HAL 9000

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Das ist mir zu schwammig formuliert. Du bildest die Ableitungen und überprüfst, ob $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*}$ existiert - wie auch immer das geschieht:

Ob durch einfache Grenzwertregeln, oder ein weiteres L'Hospital - egal.

Solche L'Hospital-Ketten sind so ungewöhnlich nicht, man muss sich nur über folgendes dabei klar sein: Ihre Rechtfertigung erhalten sie erst mit der letzten erfolgreich durchgeführten solchen Operation, anschließend erhalten "rückwärts" die bis dahin unter Vorbehalt verwendeten Gleichheitszeichen ihren Segen. Augenzwinkern

Bsp.: $\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-2x-1}{1-\cos(x)} \stackrel{(1)}{=} \lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x}-2}{\sin(x)} \stackrel{(2)}{=} \lim_{x\to 0} \frac{4e^{2x}}{\cos(x)} = \frac{4e^0}{\cos(0)} = 4 \end{align*}$ .

D.h., die L'Hospital- Gleichheiten (1) und (2) sind zunächst unter Vorbehalt der Existenz zu sehen. Da am Ende der existente Grenzwert 4 steht, sind rückwärts gegangen dann erst (2), und anschließend auch (1) legitim.

15.03.2017, 18:34

LetsTalkAboutMath

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Endgültig verstanden ! Danke dir vielmals smile

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