Zähldichte zweifacher Würfelwurf

15.03.2017, 17:40

tobi1994

Zähldichte zweifacher Würfelwurf

Hallo zusammen,
ich sitze gerade an einer vemeintlich leichten Aufgabe, bei der ich aber seit einer Stunde meinen Fehler nicht finde. Die Aufgabe lautet wie folgt: Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ beschreiben jeweils die Augenzahl beim zweifachen Wurf eines fairen Würfels. Weiter sei $\begin{eqnarray*} Y:=min(X_1, X_2) \end{eqnarray*}$ das Minimum der beiden Augenzahlen. Bestimme die Zähldichte der Verteilung von Y.
Ich habe nun zunächst die Verteilungsfunktion aufgestellt: $\begin{eqnarray*} P(min(X_1,X_2)<=k)=1-P(min(X_1,X_2)>k)=1-P(X>k)²=1-(1-P(X<=k))²=1-(1-F_X(k))²=1-(1-k/6)²=k/3-k^2/36 \end{eqnarray*}$
Anschließend habe ich dann um die Zähldichte zu erhalten die Ableitung gebildet, mit $\begin{eqnarray*} f_X(k)=1/3-k/18 \end{eqnarray*}$ .
Wenn dies die korrekte Zähldichte wäre, müsste aber per Definition die Summe $\begin{eqnarray*} f_x(1)+f_x(2)+f_x(3)+f_x(4)+f_x(5)+f_x(6)=1 \end{eqnarray*}$ ergeben. Dies tut sie allerdings nicht, folglich muss ja irgendwo ein Fehler sein. Sieht jemand meinen Fehler?

15.03.2017, 17:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von tobi1994
Anschließend habe ich dann um die Zähldichte zu erhalten die Ableitung gebildet, mit $\begin{eqnarray*} f_X(k)=1/3-k/18 \end{eqnarray*}$ .

Grober Unfug - wir sind hier nicht bei stetigen Zufallsgrößen, wo man die Dichte (fast überall) als Ableitung der Verteilungsfunktion erhält. Nein, hier im diskreten gilt

$\begin{align*} f_X(k) = P(X=k) = P(X\leq k) - P(X\leq k-1) = F_X(k)-F_X(k-1) \end{align*}$ .

15.03.2017, 17:48

tobi1994

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Oh okay, das ist mir jetzt vollkommen neu, dass das im diskreten Bereich nicht gilt. Gut, dass ich das vor der Klausur erfahre, danke dir!

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