Ungleichung lösen Aufgabe

15.03.2017, 21:57

Bridget Jones

Ungleichung lösen Aufgabe

Meine Frage:
Guten Abend zusammen.
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe.

Berechnen Sie die reellen Lösunsmengen folgender Ungleichung:
(2/x) +|x-4|-3x < 0

Meine Ideen:
Als Lösung soll:
L= (-0,36;0) vereinigt (1,36;unendlich) rauskommen.
Ich selber habe 3 Fälle angenommen. Einmal x<0, dann 0<x<4 und als letztes x>4. Ich komme aber nie auf die richtige Lösung. Wenn einer Helfen könnte wäre das echt nett. Schon mal danke im Voraus smile

15.03.2017, 22:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bridget Jones
Ich selber habe 3 Fälle angenommen. Einmal x<0, dann 0<x<4 und als letztes x>4.

Im Grunde genommen die richtige Vorgehensweise, natürlich sollte x=4 selbst nicht unterschlagen werden (d.h. einem der beiden letzten Fälle mit zugeschlagen werden). Na dann rechne mal vor, dann werden wir schon sehen, wo es klemmt.

15.03.2017, 22:24

Bridget Jones

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Für x<0:

(2/(-x)) -x + 4 + 3x<0
<=> 2x^2 + 4x - 2<0
<=> (x - (-0,41)) * (x - 2,41) <0

L1= (- unendlich ; 0) geschnitten (-0,41;2,41) = (-0,41;0)

Für 0<x<4:
(2/x) -x+4-3x<0
<=> - 4x^2 + 4x +2 <0
<=> ( x - (-0,36)) * (x - 1,36) <0

L2= (0,4) geschnitten (-0,36;1,36) = (0 ; 1,36)

Für x>4:
(2/x) + x -4 -3x <0
<=> -2x^2 -4x +2 <0
<=> (x- (-2,41)) * (x-0,41) <0

L3= (4; unendlich) geschnitten (-2,41;0,41) = {}

L gesamt= (-0,41;1,36)

Das wäre meine Rechnung. Bin über jede Hilfe dankbar smile

16.03.2017, 06:09

Dopap

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1.) Wenn $\begin{eqnarray*} x \geq 4 \end{eqnarray*}$ dann kann man die Betragsstriche weglassen.

$\begin{eqnarray*} \frac 2x +x-4- 3x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 2x -2x - 4 <0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 4 \end{eqnarray*}$

multipliziert man jetzt mit x so bleibt das "<" erhalten da x positiv ist.

$\begin{eqnarray*} 2 -2x^2 - 4x <0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 4 \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung schneidet man mit $\begin{eqnarray*} [4\infty) \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------------------------------------

2.) Wenn $\begin{eqnarray*} x <4 \end{eqnarray*}$ dann verändert das Term mit den Betragsstrichen.

wegen der anstehenden Multiplikation mit x muss man 2 Unterfälle: x>0 oder x<0
berücksichtigen . Bei x<0 wird aus dem "<" ein ">" Zeichen in der Ungleichung.
Alle Mengen in den Unterfällen sind jeweils zu schneiden

Die beiden Lösungsmengen von 2.) und die von 1.) sind zu vereinigen

16.03.2017, 10:13

HAL 9000

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@Bridget Jones
Da sind ein paar merkwürdige Fehler in deiner Lösung, beginnend hier:

Zitat:

Original von Bridget Jones
Für x<0:

(2/(-x)) -x + 4 + 3x<0

Wieso (-x) vorn, sowie hinten +3x ? Die Fallbedingung x<0 ändert doch nicht die Terme! Einzig die Betragsauflösung |x-4| = -(x-4) = -x+4 ist davon betroffen! Es geht also so los

$\begin{align*} \frac{2}{x} - x+4-3x &< 0\\ \frac{2}{x}+ 4-4x &< 0\quad \Bigm| \; \cdot (-x)>0\\ -2 - 4x + 4x^2 &< 0\\ (2x-1)^2-3 &<0 \end{align*}$

mit Lösung $\begin{align*} \left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)\cap (-\infty,0) = \left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}, 0\right) \approx (-0.366,0) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Bridget Jones
Für 0<x<4:
[...]
<=> - 4x^2 + 4x +2 <0
<=> ( x - (-0,36)) * (x - 1,36) <0

Der nächste Fehler: Die Multiplikation mit $\begin{align*} -\frac{1}{4}<0 \end{align*}$ ändert das Relationszeichen, d.h., nach der ersten Zeile geht es zunächst mit

$\begin{align*} x^2 - x - \frac{1}{2} &> 0\\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} &>0 \end{align*}$

weiter, was dann zur Lösung

$\begin{align*} \left( \left( -\infty, \frac{1-\sqrt{3}}{2} \right) \cup \left( \frac{1+\sqrt{3}}{2},\infty \right) \right) \cap (0,4) = \left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}, 4\right) \approx (1.366,4) \end{align*}$ führt.

Schließlich und endlich geht auch der letzte Fall schief:

Zitat:

Original von Bridget Jones
Für x>4:
(2/x) + x -4 -3x <0
<=> -2x^2 -4x +2 <0
<=> (x- (-2,41)) * (x-0,41) <0

Analoges Problem: Die Multiplikation mit $\begin{align*} -\frac{1}{2}<0 \end{align*}$ ändert das Relationszeichen. Richtig ist

$\begin{align*} x^2 + 2x - 1 &> 0\\ (x+1)^2-2 &> 0 \end{align*}$

mit Lösung (dabei habe ich 4 in den Fall mit einbezogen, d.h., Fallbedingung ist $\begin{align*} x\geq 4 \end{align*}$ statt wie bei dir $\begin{align*} x>4 \end{align*}$ )

$\begin{align*} \left( \left(-\infty, -1-\sqrt{2} \right) \cup \left( -1+\sqrt{2}, \infty \right) \right) \cap [4,\infty) = [4,\infty) \end{align*}$ .

Aufgesammelt (d.h. vereinigt) über alle drei Fälle bekommt man dann die Gesamtlösungsmenge

$\begin{align*} L = \left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}, 0\right) \cup \left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}, \infty\right) \approx (-0.366,0) \cup (1.366,\infty) \end{align*}$ .

18.03.2017, 10:33

Bridget Jones

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Danke für die Antwort.
Könntest du mir noch erklären, wieso das größer-kleiner Zeichen bei dem ersten Fall sich nicht umdreht. Du multiplizierst ja mit $\begin{eqnarray*} (-x) > 0 \end{eqnarray*}$ . Ich komme nicht drauf was das $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ da zu suchen hat ^^".

Die nächste Frage wäre, wieso hast du als Lösungsmenge beim 2. Fall $\begin{eqnarray*} (- \infty,-0,36) \cup (1,36, \infty ) \end{eqnarray*}$ raus. Ich dachte die Lösungsmenge liegt immer zwischen den 2 Werten die man raus hat, also $\begin{eqnarray*} (-0,36 ; 1,36) \end{eqnarray*}$ .

Und noch eine Verständnis Frage. Was ändert es an unserer Lösung wenn wir <0 oder >0 da stehen haben. Weil du hast ja z.B beim 2. und dritten Fall mit minus multipliziert und dabei noch gekürzt. Wäre echt super wenn du mir dazu noch eine Antworten geben könntest smile

18.03.2017, 13:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bridget Jones
Könntest du mir noch erklären, wieso das größer-kleiner Zeichen bei dem ersten Fall sich nicht umdreht. Du multiplizierst ja mit $\begin{eqnarray*} (-x) > 0 \end{eqnarray*}$ . Ich komme nicht drauf was das $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ da zu suchen hat ^^".

Wie lautet denn die Fallbedingung des ersten Falls? Sie lautet $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ , und für diese $\begin{align*} x \end{align*}$ gilt nun mal $\begin{align*} -x>0 \end{align*}$ . D.h., die Zahl $\begin{align*} (-x) \end{align*}$ ist positiv, und die Regel besagt, dass das Multiplizieren der Ungleichung mit einer positiven Zahl das Relationszeichen nicht ändert. Ich hatte das >0 extra angefügt, um dir genau diesen Hinweis zu geben - offenkundig hast du das aber nicht kapiert. Ausführlich war es also so gemeint:

$\begin{align*} \frac{2}{x}+ 4-4x &< 0\quad \Bigm| \; \cdot (-x) \;\mbox{ändert das Relationszeichen nicht, weil $(-x)>0$ in diesem Fall hier gilt} \end{align*}$ .

Was anderes wäre die Multiplikation der Ungleichung mit $\begin{align*} x \end{align*}$ gewesen: In eben diesem ersten Fall hätte dies ein Umdrehen des Relationszeichens bewirkt!

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