Quantoren und Vertauschen dieser

17.03.2017, 17:54

loci

Quantoren und Vertauschen dieser

Hallo,

ich habe eine Frage zu Quantoren. Diese darf man ja nicht beliebig (verschiedene) hin und her tauschen. Als Beispiel nehme ich
$\begin{eqnarray*} \forall x: \exists y: ... \end{eqnarray*}$

Dies besagt ja etwas anderes, als würde ich die Quantoren vertauschen in
$\begin{eqnarray*} \exists y: \forall x: ... \end{eqnarray*}$

Ich habe auch ein schönes Beispiel gefunden, nämlich, dass es etwas anderes ist, wenn für jeden Studenten im Hörsaal einen Stuhl gibt, sich also alle setzen können, anstatt wenn es einen Stuhl für alle Studenten gibt. Das Beispiel war mir klar und einleuchtend.

Soll ich aber selbst etwas vormulieren, z.B. möchte ich ausdrücken, dass y das Ergebnis von x ist, fällt es mir schon wieder schwer. Für mich ist es dann irgendwie "gleich", wie ich es schreibe. Ob nun
$\begin{eqnarray*} \forall x: \exists y: ... \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} \exists y: \forall x: ... \end{eqnarray*}$

Gibt es da noch so eine Art Eselsbrücke, wie man es nicht vertauscht und wirklich meint, dass es ja mehrere y geben kann? Ich kann es, egal wie ich die Quantoren tausche, ja immer "verstehen" als "zu jedem x gibt es ein y, sodass y die Quadratzahl ist". Klingt für mich aber genauso wie "Es gibt ein y für alle x sodass y die Quadratzahl ist". Denn der Existenzquantor ohne Ausrufezeichen heißt ja, es gibt min. 1, es kann ja aber auch viele andere geben. Somit stellt für mich der letztere Satz auch eine korrekte Form da. Besonders in Prüfungssituationen verhaspele ich mich, daher die Frage nach einer Eselsbrücke oder wie man es sich besser merken kann.

17.03.2017, 21:25

BB.

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Ich nehme dein Beispiel mit der Quadratzahl mal auf. Sei also die Aussageform " $\begin{eqnarray*} y \text{ ist eine Quadratzahl von } x \end{eqnarray*}$ " gegeben.
Dazu die beiden Aussagen

1) $\begin{eqnarray*} \forall x \exists y: y \text{ ist eine Quadratzahl von } x \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \exists y \forall x: y \text{ ist eine Quadratzahl von } x \end{eqnarray*}$

Die erste Aussage hast du richtigerweise als "zu jedem x gibt es ein y, sodass y die Quadratzahl von x ist" interpretiert.

Deine Auslegung der zweiten Aussage ist falsch. "Es gibt ein y für alle x, sodass y die Quadratzahl von x ist" ist nur eine sinngleiche Umstellung der ersten Aussage. Damit hättest du Recht, dass zwischen beiden Aussagen kein Unterschied besteht.

Es muss aber heißen: "Es existiert ein y, sodass für alle x gilt: y ist eine Quadratzahl von x" und diese Aussage ist offensichtlich falsch.

Nochmal zur Klärung: Im ersten Fall ( $\begin{eqnarray*} \forall x \exists y \end{eqnarray*}$ ) kann das y in Abhängigkeit von x gewählt werden, während im zweiten Fall ( $\begin{eqnarray*} \exists y \forall x \end{eqnarray*}$ ) ein y für alle x eine Quadratzahl ist.

Ich hoffe, ich konnte ein wenig Licht ins Dunkel bringen. Ansonsten habe ich deine Frage nicht verstanden. Wink

18.03.2017, 20:34

loci

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Doch, das hat mir schon weitergeholfen, vielen Dank! Wenn ich das so nochmal lese, macht es auch Sinn warum das andere Beispiel nicht passen kann.

Was ich mich noch frage - evtl. weiß ja jmd. dazu auch eine Antwort - wann kann man Quantoren IN die Klammer schreiben (damit sie in diesem Teil gebunden ist) und wann schreibt man dies an den Anfang? Als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \forall x : \exists y : (I(x) \wedge k(x) \Rightarrow G(x,y) ) \end{eqnarray*}$

Manchmal hat man ja auch sowas, da taucht der Existenzquantor irgendwie in der Mitte eher auf:
$\begin{eqnarray*} \forall x : (I(x) \wedge k(x) \Rightarrow (\exists y: G(x,y) )) \end{eqnarray*}$

Ich hätte jetzt gesagt, dass es egal ist wo es steht. Außer es muss explizit drauf geachtet werden, wann eine Variable gebunden sein soll und wann nicht. Aber ist dazu nichts gefordert, ist es doch egal, oder?

19.03.2017, 12:24

BB.

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Zitat:

wann kann man Quantoren IN die Klammer schreiben (damit sie in diesem Teil gebunden ist) und wann schreibt man dies an den Anfang?

Das ist ein etwas komplexeres Thema. Aussagen der Prädikatenlogik können normalisiert werden. Mir ist dabei nur die Pränexform geläufig, bei der sämtliche Quantoren "vor der Formel stehen".

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