ggT(2,sqrt(2))

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18.03.2017, 11:47	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
ggT(2,sqrt(2)) Hey Leute, ich bin dabei eine "Schulaufgabe" zu lösen, dabei sollte ich meiner Meinung nach herausfinden, ob der ggT von 2 und Wurzel 2 existiert. Mir ist klar dass es diesen nicht gibt, finde aber keinen "Beweis" dafür... kann mir da jemand weiterhelfen? Vielen Dank und LG
18.03.2017, 11:52	Hinweisgeber	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest deine Nachhilfe aufgaben schon selber machen. Oder deine Kinder je nach dem.
18.03.2017, 11:59	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier weder um Nachhilfe Aufgaben, noch um meine Kinder, die habe ich noch nicht, da ich erst 20 bin und Mathematik auf Lehramt studiere. Weiters bin ich an keinem Vorgerechne interessiert, sondern an einem produktiven Denkanstoß Schönen Tag
18.03.2017, 12:11	G180317	Auf diesen Beitrag antworten »
Der ggT ist so definiert: Der größte gemeinsame Teiler ist die größte natürliche Zahl, durch die sich zwei ganze Zahlen ohne Rest teilen lassen.
18.03.2017, 12:15	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey! Das ist mir bekannt, aber reicht hier die "logische" Begründung aus?: ich muss schließlich zum berechnen des ggT beide Zahlen so mit einer Potenz der Basis multiplizieren, dass es zwei ganze Zahlen sind. Da Wurzel 2 irrational ist und demnach nicht mit endlichen Schritten in eine ganze Zahl "umgewandelt" werden kann, gibt es keinen ggT. Ist das mathematisch korrekt?
18.03.2017, 12:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage wurde im Hochschulbereich gestellt. Es ist also denkbar, dass es gar nicht um die einfache Schulverwendung des Begriffes ggT in den natürlichen Zahlen geht, sondern allgemeiner um ggT in Ringen. Das würde ein komplett anderes Licht auf die Frage werfen.
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18.03.2017, 12:46	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
der ggT wurde vorerst in der Vorlesung so wie oben genannt definiert, gekoppelt mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. LG
18.03.2017, 12:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ ist irrational, das stimmt. Das ist aber nicht der Grund dafür, dass $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ keine ganze Zahl ist. Auch $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \end{eqnarray}$ ist keine ganze Zahl, obwohl $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \end{eqnarray}$ rational ist. Weder rationale noch irrationale Zahlen lassen sich in ganze Zahlen "umwandeln" (was das heißen soll, ist unklar), wenn sie nicht ganz sind, und zwar weder in endlich noch in unendlich vielen Schritten. Der Einwand von Helferlein ist wichtig. Wie und wo definierst du den ggt ?
18.03.2017, 13:04	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
"Der größte gemeinsame Teiler" von zwei von Null verschiedenen ganzen Zahlen ist die größte ganze Zahl, die beide teilt. aus meinem Skriptum. Angenommen ich setzte voraus, dass Wurzel 2 irrational ist, wie muss ich dann vorgehen, um zu beweisen, dass es keinen ggT gibt, wenn also mein Ansatz falsch ist? Damit meinte ich, würde ich eine Dezimalzahl berechnen, die ZB. 0,25 und 0,50 teilt, so würde ich zuerst beides *100 nehmen, dann den ggT berechnen, und diesen dann wieder durch 100 dividieren. Damit habe ich eine Dezimalzahl, wobei 0,25 und 0,50 vielfache dieser sind. Zum Hintergrund: es wird also eine Zahl gesucht, deren vielfache Wurzel 2 und 2 sind. Dies wurde im Kapitel ggT besprochen und daher nehme ich stark an, dass dieser zur Lösung verwendet werden soll...
18.03.2017, 13:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deshalb habe ich gefragt "wo" ist der ggT definiert. Nach deiner Antwort ist der $\begin{eqnarray} ggT(a,b) \end{eqnarray}$ für je 2 ganze Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ definiert, $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ ist keine ganze Zahl, also ist $\begin{eqnarray} ggT(\sqrt 2,2) \end{eqnarray}$ nicht definiert.
18.03.2017, 13:22	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
achso! so einfach ist das? :O Dann bedanke ich mich für die Hilfe! Lg
18.03.2017, 14:02	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
So "einfach" ist relativ Es ist durchaus möglich, dass nach deiner Definition des ggT's eine Erweiterung in einem Satz oder Lemma eingeführt wurde, die den ggT auf beliebige Ringe ergänzt. (z.B. wie in [1]) Falls dies der Fall ist, müsstest du die Aufgabe komplett neu überdenken. Anhand deiner Definition ist aber direkt zu sehen, dass der ggT als Abbildung $\begin{eqnarray} ggT:\ \mathbb Z\times \mathbb Z\to \mathbb Z \end{eqnarray}$ definiert wurde. Wie Elvis bereits schrieb, ist $\begin{eqnarray} \sqrt{2}\notin\mathbb Z \end{eqnarray}$ und damit ist das egtl. keine Übungsaufgabe auf Hochschulniveau (wobei "Hochschulniveau" hier tatsächlich von mir subjektiv interpretiert wird ) Wenn dies eine Übungsaufgabe ist, vergewissere dich (notfalls beim Tutor), ob dies die Definition ist, von der du ausgehen musst. [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor#The_gcd_in_commutative_rings
18.03.2017, 14:21	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Was spricht denn dagegen, dass es bei der Aufgabe garnicht darum ging, eine Antwort auf die gestellte Frage zu finden, sondern mehr darum, sich klar zu machen, was eine Funktion ist und dass man nur einsetzen darf, was gemäß Definition zugelassen ist. Es ist eben nicht so, dass man mit der Berechnungsvorschrift argumentieren muss, wie weiter oben von manuel459 angedeutet, sondern schlicht und einfach mit dem Definitionsbereich. Das stellt einen substantiellen Unterschied zur Schulsichtweise dar, in der man IMMER auf die Berechnungsvorschrift schaut, um sich zu überlegen, was eingesetzt werden darf. Damit wäre die Aufgabe eine wichtige Erkenntnis auf dem Weg sich von dieser falschen Schulsichtweise zu trennen. Falls ich damit richtig liege, so ist die Aufgabe ganz klar auch so, wie sie hier gestellt wurde, im Hochschulbereich anzusiedeln und offenbar auch nicht zu einfach, denn dann hätte man sie ja ohne Hilfe lösen können. Dies war aber nicht der Fall.
18.03.2017, 14:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es, die grundlegenden Erkenntnisse sind die schwierigsten. Deshalb gibt es dafür zurecht die Nobelpreise.

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