Mehrdimensionales Differenzieren, Stetigkeit

18.03.2017, 13:23

Sito

Mehrdimensionales Differenzieren, Stetigkeit

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe will einfach nicht so recht funktionieren:

Sei $\begin{align*} f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \end{align*}$ definiert durch: $\begin{align*} f(x,y)= \left\{\begin{array}{lr}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \text{falls } (x,y)\neq (0,0)\\0, & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{array}\right. \end{align*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ stetig ist, und dass $\begin{align*} \partial_{xy}f \end{align*}$ und $\begin{align*} \partial_{yx}f \end{align*}$ auf $\begin{align*} \mathbb{R}^2\backslash \{(0,0)\} \end{align*}$ stetig sind.

Die Aufgabe scheint mir eigentlich nicht so schwierig, dennoch habe ich ziemliche Mühe mit der Idee des mehrdimensionalen Differenzierens. Zum ersten Teil, also zu zeigen, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ stetig ist, könnte man doch argumentieren, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ stetig partiell differenzierbar ist und somit auch stetig sein muss, denn es gilt $\begin{align*} \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2\backslash \{(0,0)\} \end{align*}$ :
$\begin{align*} f'(x,y)= \left(\frac{\partial}{\partial x}f(x,y), \frac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right) = \left(\frac{(y (x^4 + 4 x^2 y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2}, \frac{x^5 - 4 x^3 y^2 - x y^4}{(x^2 + y^2)^2}\right)= \frac{1}{(x^2 + y^2)^2} \left(y (x^4 + 4 x^2 y^2 - y^4),x^5 - 4 x^3 y^2 - x y^4\right) \end{align*}$ .

Mein Problem ist es in erster Line zu zeigen, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ auch stetig ist und ich bin mir auch nicht wirklich sicher was man nun im zweiten Teil der Aufgabe von mir will... bzw. was genau ist der Unterschied zwischen $\begin{align*} \partial_{xy} \end{align*}$ und $\begin{align*} \partial_{yx} \end{align*}$ ?

Gruss Sito

18.03.2017, 14:48

Sito

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Kurzer Nachtrag mit einem Versuch die Stetigkeit im Punkt $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ zu zeigen:

$\begin{align*} |f(x,y)|= \left\{\begin{array}{lr}\big| xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\big| & \text{falls } (x,y)\neq (0,0)\\0 & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{array}\right. \le \left\{\begin{array}{lr}|xy(x^2-y^2)| & \text{falls } (x,y)\neq (0,0)\\0 & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{array}\right. \le |xy(x^2-y^2)| \underset{(x,y) \to (0,0)}{\longrightarrow}0 = f(0,0) \end{align*}$ .

Ich hoffe es ist verständlich was die Idee war... Wäre froh, wenn jemand mal da drüberschauen könnte. Die zweite Frage bzw. was genau zu tun ist in der zweiten Teilaufgabe bleibt aber immer noch....

Gruss Sito

18.03.2017, 18:46

005

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Deine Abschaetzung ist falsch. $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ ist ja in der Naehe des Nullpunktes sehr klein. Dadurch teilen wirkt vergroessernd. Nicht mehr dadurch teilen wirkt verkleinernd.

19.03.2017, 13:17

Sito

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Hmm, das sehe ich jetzt natürlich, aber ich weiss ehrlich gesagt nicht wie ich es sonst machen soll... Egal wie ich den Term versuche abzuschätzen, ich muss immer ein $\begin{align*} x \end{align*}$ oder $\begin{align*} y \end{align*}$ weglassen aus dem Nenner.

Mache ich hier etwas grundlegendes falsch, oder sehe ich hier einfach die Abschätzung nicht?

19.03.2017, 18:59

005

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Dann lass den Nenner doch in Frieden, wenns damit nicht klappt. Einen Zaehler gibts ja auch noch.

19.03.2017, 23:01

Sito

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Zitat:

Dann lass den Nenner doch in Frieden, wenns damit nicht klappt. Einen Zaehler gibts ja auch noch.

Ich glaube jetzt hats Klick gemacht...

$\begin{align*} \|f(x,y)\|= \left\{\begin{array}{lr}\big\| xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\big\| & \text{falls } (x,y)\neq (0,0)\\0 & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{array}\right. \le \left\{\begin{array}{lr}\big\|xy\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\big\| & \text{falls } (x,y)\neq (0,0)\\0 & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{array}\right. \le \|xy\|\cdot \Big\|\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\Big\| \le \|xy\| \underset{(x,y) \to (0,0)}{\longrightarrow}0 = f(0,0) \end{align*}$

20.03.2017, 05:52

005

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Da f reellwertig ist, taucht da der ganz normale Absolutbetrag auf. Warum also die doppelten Betragsstriche? Zweitens brauchst Du fuer (x, y) = (0, 0) keine Abschaetzung zu produzieren, der Wert von f(0, 0) ist fuer den Grenzwert egal.

Schliesslich:

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)|=\left|xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right|=|xy|\frac{|x^2-y^2|}{x^2+y^2}, \end{eqnarray*}$

und da kommt jetzt im Zaehler die Dreiecksungleichung zum Zuge,

$\begin{eqnarray*} |x^2-y^2|\le|x^2|+|y^2|=x^2+y^2, \end{eqnarray*}$

also wie bei Dir

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)|\le|xy|, \end{eqnarray*}$

aber man kann es eben auch richtig machen. smile

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