Konvergenz einer komplexen Folge

18.03.2017, 14:08

memuench2302

Konvergenz einer komplexen Folge

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe Probleme bei der Lösen einer Aufgabe betreffend komplexen Folgen und der Konvergenz. Da beide Teilgebiete nie besonders gut für mich waren, habe ich im Moment damit auch Schwierigkeiten. Die Aufgabe ist im Anhang.

Meine Ideen:
Zuerst lässt sich ja bestimmt sagen, dass i^n = 1 ist, weswegen die Gleichung letzten Endes so aussieht.
(7/6)^n
Um auf Nummer Sicher zu gehen, habe ich die Formel auch mit dem Betragsprinzip mal umgestellt:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{3/6^{2}+4/6^{2}} = 7/6^{2} \end{eqnarray*}$
Und auch hier kommt (7/6)^n raus.
Im GTR eingegeben lässt sich auch Konvergenz gegen Null erkennen, jedoch nur für N < 0 und in der Aufgabenstellung steht ja, dass N >= 1 ist.
Da die Aufgabenstellung sogar lautet:"Zeigen Sie Konvergenz" bezweifele ich, dass die Folge divergent ist.
Kann mir jemand meinen Fehler zeigen?

18.03.2017, 14:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll dieses 7/6 bzw. 7/6² hier bedeuten ?

Entscheidend für das Konvergenzverhalten ist der Betrag $\begin{align*} \left| \frac{3+4i}{6} \right| \end{align*}$ , und da kommt keiner dieser beiden Werte heraus. unglücklich

18.03.2017, 15:27

memuench2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Was soll dieses 7/6 bzw. 7/6² hier bedeuten ?

Entscheidend für das Konvergenzverhalten ist der Betrag $\begin{align*} \left| \frac{3+4i}{6} \right| \end{align*}$ , und da kommt keiner dieser beiden Werte heraus. unglücklich

Der Betrag wird doch definiert durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$
a wäre hier doch: 3/6
b wäre: 4/6
a^2 : 9/36
b^2 : 16/36
Summiert: 25/36 und nach der Wurzel wäre das dann: 5/6^n
Ach und schon ist der Fehler gefunden smile

Denn die Formel zeigt Konvergenz Richtung 0 auf der positiven Achse an.
Könntest du mir noch bei dem Beweisen mit Epsilon helfen?
Der Ansatz wäre ja:
|an - a| = |5/6^n - 0| = 5/6^n

Wie kann man daraus jetzt einen logischen Beweis machen?

18.03.2017, 17:09

memuench2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Doppelpost, ich kann leider meinen vorherigen Beitrag nicht mehr bearbeiten. Ich habe mich mal mehr in Materie eingelesen und bin auf folgendes gekommen, jedoch kommt mir das stupide vor.
Sei ein E > 0 gegeben. Wir müssen nun zu jedem E > 0 ein N E N finden sodass |an - 0| < E für alle n E N.
|(5/6)^n - 0| < E
Also muss gelten:
(5/6)^E < n

Nun sollten wir unser N folgendermaßen wählen, dass N eine natürliche Zahl > (5/6)^E ist.
Also gilt für alle n >= N:
|an - 0| = (5/6)^n < (5/6)^N < E

Nähere ich mich der Sache?
Danke im Voraus

18.03.2017, 17:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht also um die Nullfolgeneigenschaft einer geometrischen Folge $\begin{align*} q^n \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} 0<|q|<1 \end{align*}$ mittels Epsilon-Definition?

Einfach $\begin{align*} |q|^n < \varepsilon \end{align*}$ logarithmieren führt zu $\begin{align*} n\ln(|q|) < \ln(\varepsilon) \end{align*}$ und damit $\begin{align*} n > \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(|q|)} \end{align*}$ .

18.03.2017, 17:44

memuench2302

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Es geht also um die Nullfolgeneigenschaft einer geometrischen Folge $\begin{align*} q^n \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} 0<|q|<1 \end{align*}$ mittels Epsilon-Definition?

Einfach $\begin{align*} |q|^n < \varepsilon \end{align*}$ logarithmieren führt zu $\begin{align*} n\ln(|q|) < \ln(\varepsilon) \end{align*}$ und damit $\begin{align*} n > \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(|q|)} \end{align*}$ .

Ach natürlich, aber die restlichen Schritte waren korrekt ? Also wäre der Beweis so aufgebaut:
Sei ein E > 0 gegeben, sodass [...] (analog wie oben)
ln(E)/ln(|q|) < n
Nun wählen wir N, eine natürliche Zahl > ln(E)/ln(|q|)
Somit gilt für alle n <= N und damit:
(5/6)^n <= (5/6)^N < E
Richtig?

18.03.2017, 17:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von memuench2302
Somit gilt für alle n <= N und damit:
(5/6)^n <= (5/6)^N < E

n > N, ansonsten einverstanden.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer komplexen Folge

Verwandte Themen