Stetigkeit einer Metrik

18.03.2017, 22:16

19994

Stetigkeit einer Metrik

Meine Frage:
Hallo,

ich sitze in folgender Aufgabe:
Zeige, dass die Funktion f(x) = d(x,a) in jedem Punkt stetig ist (wobei d eine Metrik ist und a ein fester Punkt).

Meine Ideen:
Meine Überlegung war zunächst der Beweis über das Epsilon-Delta-Kriterium, da wäre eigentlich nur zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d( d(x,x_{0}), d(x,a))\leq d(x,x_{0}) \end{eqnarray*}$ , weil dann aus $\begin{eqnarray*} d(x,x_{0}) \end{eqnarray*}$ < delta folgen würde
$\begin{eqnarray*} d( d(x,x_{0}), d(x,a)) \end{eqnarray*}$ < Epsilon für Epsilon = Delta.
Ich bekomme es aber irgendwie nicht hin, obige Ungleichung zu beweisen. Es sollte ja dann für jede beliebige Metrik gelten müssen, deshalb kann ich es nicht einfach aus der Dreieicksungleichung herleiten, indem ich eine Komponente abziehe und dann irgendwie den Betrag nehme, oder?
Also $\begin{eqnarray*} |d(x,x_{0}) - d(x,a)| \leq d(x,x_{0}) \end{eqnarray*}$
:/

Ein alternativer Ansatz wäre der über Folgen:
$\begin{eqnarray*} x_{n} -> x<br /> \Rightarrow lim d(x_{n}, a) -> d(x,a)<br /> \Rightarrow lim |d(x,a) - d(x_{n}, a)| \leq lim d(x, x_{n}) = 0 <br /> \Rightarrow lim |d(x,a) - d(x_{n}, a)| = 0 \end{eqnarray*}$
Mit der Dreiecksungleichung. Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich das mit der Abschätzung darüber so machen darf. Und wie ich den Absolutbetrag begründe :/

Ist einer der beiden Ansätze sinnvoll?

19.03.2017, 06:17

10001000Nick1

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RE: Stetigkeit einer Metrik
Erstmal ein allgemeiner Hinweis: Für zwei verschiedene Metriken solltest du nicht denselben Namen $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ verwenden.
Für die Euklidische Metrik auf den reellen Zahlen könntest du z.B. $\begin{eqnarray*} d_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ verwenden. Oder man benutzt zur noch besseren Unterscheidung einfach $\begin{eqnarray*} |x-y| \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} d_{\mathbb R}(x,y) \end{eqnarray*}$ (was ich jetzt auch tun werde). smile

Zitat:

Original von 19994
Meine Überlegung war zunächst der Beweis über das Epsilon-Delta-Kriterium, da wäre eigentlich nur zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d( d(x,x_{0}), d(x,a))\leq d(x,x_{0}) \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt nicht.
Am besten, nochmal sauber aufschreiben: Die Ungleichung, die da auftauchen müsste, ist folgende: $\begin{eqnarray*} |f(x)- f(x_0)|=|d(x,a)- d(x_0,a)|\leq d(x,x_0)<\delta \end{eqnarray*}$ .

Und das ist einfach die sog. umgekehrte Dreiecksungleichung.

Der Ansatz über die Folgenkonvergenz sieht gut aus, nur ist die Reihenfolge der Implikationen etwas durcheinander geraten; die zweite Zeile muss ganz ans Ende.
(Und hier hast du auch schon die umgekehrte Dreiecksungleichung verwendet.)

Es sollte also so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x_n\to x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} |d(x,a)-d(x_n, a)|\leq \lim_{n\to\infty} d(x,x_n)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} |d(x,a)-d(x_n, a)| =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d(x_n, a)\to d(x,a) \end{eqnarray*}$

19.03.2017, 10:18

19994

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RE: Stetigkeit einer Metrik
Hallo,
erst mal vielen Dank für die Antwort Big Laugh

Ja, stimmt, das ist irgendwie etwas durcheinandergekommen.

Ich verstehe das mit der umgekehrten Dreiecksungleichung ehrlich gesagt nicht ganz.
Ich beziehe mich ja die ganze Zeit auf Metriken, aber die umgekehrte Dreiecksungleichung bezieht sich ja auf Absolutbeträge.(?) Warum kann ich die da einfach mit "reinschmeißen"?

19.03.2017, 10:20

19994

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RE: Stetigkeit einer Metrik
Also beim Epsilon-Delta-Kriterium handelt es sich auf der linken Seite ja eigentlich um eine Metrik. Warum kann ich da den Absolutbetrag draus machen?

19.03.2017, 23:07

10001000Nick1

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RE: Stetigkeit einer Metrik

Zitat:

Original von 19994
Ich beziehe mich ja die ganze Zeit auf Metriken, aber die umgekehrte Dreiecksungleichung bezieht sich ja auf Absolutbeträge.(?) Warum kann ich die da einfach mit "reinschmeißen"?

Ich verstehe nicht ganz, was du meinst. $\begin{eqnarray*} d(x,y) \end{eqnarray*}$ ist eine (positive) reelle Zahl (für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ aus dem metrischen Raum).

$\begin{eqnarray*} |d(x,a)- d(x_0,a)| \end{eqnarray*}$ ist also der Betrag der reellen Zahl $\begin{eqnarray*} d(x,a)- d(x_0,a) \end{eqnarray*}$ . Und die umgekehrte Dreiecksungleichung sagt nun, dass dieser Betrag kleiner/gleich der (positiven) reellen Zahl $\begin{eqnarray*} d(x,x_0) \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von 19994
Warum kann ich da den Absolutbetrag draus machen?

Weil die Euklidische Metrik so definiert ist: $\begin{eqnarray*} d_\mathbb R(x,y):= |x-y| \end{eqnarray*}$ .

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