Komplizierte Extremwertaufgabe

18.03.2017, 23:23

Nucliranian

Komplizierte Extremwertaufgabe

Meine Frage:
Aus einem kreisrunden Stück Papier mit Radius R soll ein Kreissektor vom Winkel x ausgeschnitten werden. Dieser Kreissektor wird an den Schnittkanten zu einem Kreiskegel zusammengefügt.
Berechnen Sie den Winkel x, bei dem der Kegel das maximale Volumen erreicht. Beweisen Sie die Maximaleigenschaft! (ohne Taschenrechner)

Meine Ideen:
Ich habe es geschafft eine allgemeine funktion für das Volumen des Kegels aufzustellen, wobei ich nur noch den Winkel x und R als Variabeln habe wobei R meiner Meinung nach gegeben ist und das daher legitim ist zwei Unbekannte zu haben.

$\begin{eqnarray*} V(kegel)= \frac{1}{3} \pi \left(\frac{Rx}{2\pi } \right) ^{2} \sqrt{R^{2}- \left(\frac{Rx}{2\pi } \right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

Das ist meine aufgestellte Geleichung dabei ist zu beachten das x noch nicht in Gradmaß angegeben ist sondern in Bogenmaß aber diesen schritt kann ich auch am Ende machen damit die Funktion nicht noch unnötig komplizierter wird.
Mein größtes Problem ist hierbei nun die Extremstellen zu finden, mir ist bekannt, dass ich die 1.Ableitung bilden muss und diese gleich 0 setzen muss um Extremstellen zu errechnen, jedoch ist diese Gleichung viel zu kompliziert für mich um sie ohne Taschenrechner ableiten zu können.
Ich wäre jeder Person sehr dankbar die eine simple Schritt für Schritt Anleitung für das Ableiten dieser Funktion aufschreiben könnte oder mir einen anderen Weg zum Lösen der Aufgabe zeigen könnte. Meine abschluss Frage wäre was genau ist mit -Beweisen Sie die Maximaleigenschaft- gemeint ?

19.03.2017, 00:21

Leopold

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Statt das Maximum von $\begin{align*} V \end{align*}$ zu bestimmen, kannst du auch das Maximum von $\begin{align*} V^2 \end{align*}$ bestimmen. Es befindet sich an derselben Stelle $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0 < x < 2 \pi \end{align*}$ . Und $\begin{align*} V^2 \end{align*}$ ist ein übersichtliches Polynom vom Grad 6.

Es ist übrigens einfacher, $\begin{align*} V \end{align*}$ in Abhängigkeit von der Höhe $\begin{align*} h \end{align*}$ des Kegels zu betrachten:

$\begin{align*} V = \frac{1}{3} \pi \left( R^2 h - h^3 \right) \, , \ \ 0 < h < R \end{align*}$

Jetzt kann man $\begin{align*} h \end{align*}$ so bestimmen, daß $\begin{align*} V \end{align*}$ maximal wird. Anschließend kann man das zugehörige $\begin{align*} x \end{align*}$ berechnen.

19.03.2017, 00:39

Dopap

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dein V(x) ist zwar schön geschrieben, aber reduziert sich auf

$\begin{eqnarray*} V(x)=\frac {R^3}{24\pi^2}\cdot \bigg( x^2\sqrt{4\pi^2-x^2}\bigg) \end{eqnarray*}$ und das kann man natürlich auch noch quadrieren.
Die Ableitung nach x ist nach dem Ausmultiplizieren einfach, sofern du diesen Weg weiter verfolgen willst?

19.03.2017, 02:10

Nucliranian

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ich kann leider nicht ganz nachvollziehen wie sie die formel umgeformt haben. können sie mir bitte sagen wie ich die R unter der wurzel rausbekomme ?
schonmal vielen dank für den weg bis dahin so eine Formel könnte ich noch ableiten Big Laugh

19.03.2017, 04:53

Dopap

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RE: Komplizierte Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von Nucliranian

$\begin{eqnarray*} V(kegel)= \frac{1}{3} \pi \left(\frac{Rx}{2\pi } \right) ^{2} \sqrt{R^{2}- \left(\frac{Rx}{2\pi } \right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(kegel)= \frac{1}{3} \pi \left(\frac{Rx}{2\pi } \right) ^{2} \sqrt{R^{2}- \frac{R^2x^2}{4\pi^2 } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(kegel)= \frac{1}{3} \pi \left(\frac{Rx}{2\pi } \right) ^{2} \sqrt{R^{2}\bigg(1- \frac{x^2}{4\pi^2 }\bigg) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(kegel)= \frac{1}{3} \pi \left(\frac{Rx}{2\pi } \right) ^{2} R\,\sqrt{1- \frac{x^2}{4\pi^2 } } \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------------------------
zur Kontrolle:

die Ableitung des Quadrates ist $\begin{eqnarray*} \frac {R^6x^3(8\pi^2-3x^2)}{288 \pi^4} \end{eqnarray*}$

nur die Nullstelle der Klammer ist relevant, falls du diesen Weg weiter verfolgst ---> Leopold

19.03.2017, 23:45

Nucliranian

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Vielen dank dafür smile

ich habe auf anderen Foren erfahren dass ich mir die ganze scahe unnötig erschwert habe da ich für R imgrunde irgend eine Zahl nehmen kann da es egal ist welche länge R hat für Vmax der Winkel bleibt immer gleich somit kann ich für R=1 rechnen und x relativ einfach ausrechnen der winkel beträgt immer 293,9 Grad ( nicht ganz sicher da aus Erinnerung).

Nochmal vielen Dank für die Hilfe

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