Gleichmäßige Konvergenz Funktionfolge

19.03.2017, 01:10

Mathematicax33

Gleichmäßige Konvergenz Funktionfolge

Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich soll die folgende Funktion auf punktweiser bzw gleichmäßiger Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} f_{n} :\left[0,\infty \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = x^{n} e^{-nx} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für Punktweise Konvergenz habe ich:
Für x=0 gilt offensichtlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }f_{n}(x)=0 \end{eqnarray*}$

Für x ungleich null gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n} }{e^{nx} } = \frac{1}{e^{nx} } x^{n} \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Die Funktion konvergiert also punktweise gegen 0..
Bei der gleichmäßigen Konvergenz bin ich mir nicht sicher ob das so richtig ist..
Wenn die Funktionfolge glm. konvergent wäre, dann gäbe es zu jedem Epsilon größer 0 ein N sd der Betrag der Differenz von der Grenzfkt und der Funktionfolge kleiner ist als Epsilon für alle x aus D.
Es gilt
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{e^{nx} } x^{n} | =|\frac{1}{e^{nx} } (1+x^{n} e^{nx} )| \end{eqnarray*}$
Der linke Ausdruck kann nie null werden. Und der rechte Ausdruck kann durch wachsendem x bel. groß "gemacht" werden. D.h unser N müsste in Abhängigkeit von x gewählt werden,sprich es liegt keine Glm. Konvergenz vor.

Wäre froh wenn ihr mir eventuelle Fehler anmerken könntet smile

Viele Grüße!

19.03.2017, 05:56

10001000Nick1

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RE: Gleichmäßige Konvergenz Funktionfolge

Zitat:

Original von Mathematicax33
Wenn die Funktionfolge glm. konvergent wäre, dann gäbe es zu jedem Epsilon größer 0 ein N sd der Betrag der Differenz von der Grenzfkt und der Funktionfolge kleiner ist als Epsilon für alle x aus D.

Aber erst für alle Folgenglieder ab dem N-ten Glied.

Zitat:

Original von Mathematicax33
Es gilt
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{e^{nx} } x^{n} | =|\frac{1}{e^{nx} } (1+x^{n} e^{nx} )| \end{eqnarray*}$

Wieso das? verwirrt

Eine etwas andere Definition von gleichmäßiger Konvergenz sieht so aus: $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in D} |f_n(x)-f(x)|=0 \end{eqnarray*}$ .

Dieses Supremum kannst du hier mit einer einfachen Extremwertberechnung bestimmen und dann den Grenzwert bilden.

19.03.2017, 13:52

Mathematicax33

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RE: Gleichmäßige Konvergenz Funktionfolge
Ja genau erst ab dem N-ten Glied..
Ohgott ich merke gerade völliger Quatsch mit dem Ausklammern..war anscheind echt viel zu müde !! unglücklich

Danke erstmal fürs Hinweisen !

Also mit der Ableitung habe ich dann,
$\begin{eqnarray*} f'_{n}(x)= -ne^{-nx}x^{n} +e^{-nx}nx^{n-1} =ne^{-nx} (-x^{n} +x^{n-1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 x_{2}= 1 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} f_{n}(1)= \frac{1}{e^{n} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{n} (0)= 0 \end{eqnarray*}$

Ist mein Supremum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{n} } \end{eqnarray*}$ oder ?

und da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{e^{n} } = 0 \end{eqnarray*}$ ist die Konvergenz gleichmäßig ?

Eine allgemeine Frage noch..kann ich beim bestimmen meines Supremums immer so vorgehen also mit Extremwertberechnung ?

Vielen Dank schonmal !

19.03.2017, 22:59

10001000Nick1

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RE: Gleichmäßige Konvergenz Funktionfolge
Bei der Bestimmung des Supremums fehlt noch die Betrachtung der Funktionswerte am Rand des Definitionsbereichs, d.h. $\begin{eqnarray*} f_n(0) \end{eqnarray*}$ (das hast du schon berechnet) und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ .
Letzterer Grenzwert ist aber 0 (für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ); und deswegen ist das Supremum dann wirklich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^n} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mathematicax33
Eine allgemeine Frage noch..kann ich beim bestimmen meines Supremums immer so vorgehen also mit Extremwertberechnung ?

Einen Rechenweg, der "immer" funktioniert, wirst du in der Mathematik nur sehr selten finden. Das hängt immer vom Aufgabentyp ab.
Du wirst sicherlich nicht bei allen Funktionenfolgen mit einer einfachen Extremwertberechnung zum Ziel kommen. Oft sind auch Abschätzungen gefragt etc...

19.03.2017, 23:05

Mathematicax33

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RE: Gleichmäßige Konvergenz Funktionfolge
Ok vielen dank smile

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