Extremwerte - f(x) = Integral eines Betrags

19.03.2017, 14:07

extremerwert

Extremwerte - f(x) = Integral eines Betrags

Hallo,

vorab die Aufgabe:
"Besitzt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\int_{-1}^{x} \! | t | \, dt \end{eqnarray*}$ relative Extremwerte?"

Meine Vorgehensweise war wie folgt:
1. Fallunterscheidung für t > 0 und t < 0
Macht also einmal Integral von t und einmal von -t

2. Für
t > 0 komme ich also an $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x^{2} }{2} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und für
t < 0 an $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{-x^{2} }{2} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

3. Bei t > 0 ergibt die erste Ableitung also f'(x) = x und bei t < 0 f'(x) = -x

4. Setze ich die Ableitungen gleich an 0, um die Extremstellen zu finden, kommt bei beiden x=0 raus.

5. Das Problem ist dann die zweite Ableitung, um herauszufinden, ob es ein Maximum oder Minimum ist. Denn da kommt man einerseits an 1 und andererseits an -1

--> Was heißt das jetzt für meine Funktion? Habe ich eine relative Extremstelle?

Vielen Dank smile

19.03.2017, 14:50

Dopap

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ausgehend von -1 ist die Integralfunktion - hier gleich der Fläche zwischen Graph und X-Achse - monoton steigend.

Da gibt es kein relatives Minimum. Es existiert nur das absolute Minimum = 0

Tipp: bevor man rechnet sich erst mal mit Papier und Bleistift einen Überblick verschaffen.

nebenbei: es fehlt die Definitionsmenge zur Funktionsvorschrift.

19.03.2017, 16:36

IfindU

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@Dopap Die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ besitzt ein globales (und damit auch ein relatives) Minumum. Die eigentliche Funktion besitzt weder noch.

19.03.2017, 16:51

Dopap

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Zitat:

Original von IfindU
@Dopap Die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ besitzt ein globales (und damit auch ein relatives) Minumum. Die eigentliche Funktion besitzt weder noch.

das verstehe ich nicht verwirrt

Wieso muss man Ableiten um irgendein Minimum zu finden verwirrt

19.03.2017, 17:34

IfindU

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Jetzt verstehe ich dich. Du bist davon ausgegangen, dass der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} [-1, \infty) \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist das Minimum natürlich 0.

19.03.2017, 18:36

Leopold

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Aber davon sollte man nicht ausgehen. Zur Frage des Definitionsbereichs hat sich extremerwert leider noch nicht geäußert. Ich nehme einmal $\begin{align*} D_f = \mathbb{R} \end{align*}$ aus, solange nichts anderes verlautet.

Für $\begin{align*} f(x) = \int_{-1}^x |t| ~ \dd t \end{align*}$ erhält man nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: $\begin{align*} f'(x) = |x| \end{align*}$

Außer bei $\begin{align*} x = 0 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} f'(x) > 0 \end{align*}$ . Somit ist $\begin{align*} f \end{align*}$ streng monoton wachsend und besitzt folglich kein lokales Extremum. Im übrigen ist $\begin{align*} F(x) = \frac{1}{2} x \cdot |x| \end{align*}$ eine Stammfunktion der Betragsfunktion. Somit gilt

$\begin{align*} f(x) = F(x) - F(-1) = \frac{1}{2} x \cdot |x| + \frac{1}{2} \end{align*}$

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