Abbildung durch abgebildete Gerade und Punkt bestimmen |
19.03.2017, 15:42 | d._.s | Auf diesen Beitrag antworten » |
Abbildung durch abgebildete Gerade und Punkt bestimmen Die Abbildung A(a;2c || c;d)führt den Punkt P(1,1) inde den Punkt P'(3,0) und die Gerade g: y=-x in die Gerade g':x=-2y über. Der Richtungsvektor von g kann dabei durch die Abbildung A um einen Faktor t verlängert werden. Meine Ideen: Meine Idee hierzu is t natürlich zuerst den Punkt P durch die Matrix zu schicken bzw. das Gleichungssystem a+2c=3 c+d=0 zu erstellen. Danach versuchte mit der Geraden (0 || -1) + t*(1 || 0) bzw. (t || -1) und ihrer Abbildung (0 || -2) + t*(1 || 0) bzw. (t || -2)ein weiteres Gleichungssystem zu erstellen: t*a-2c=t t*c-d=-2 Das Problem nun ist aber, dass ich mit einem , aus den beiden oberen, fusionierten Gleichungssystem dastehe, mit dem es extrem kompliziert wird da t ja nur ein Parameter ist. Daher meine Frage: Ist mein Ansatz falsch oder gibt es einen einfacheren Lösungsweg? |
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19.03.2017, 17:42 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Richtungsvektor von g' ist (1/2; -1/2), währenddessen jener von g (1; -1) ist. Die durch die Abbildung erzeugte Gerade g' ist hinsichtlich der Geraden g eine Fixgerade. Denn die Ortsvektoren der Punkte auf g' gehen durch Streckung der Ortsvektoren der Punkte auf g mit einem Faktor hervor und sind ausserdem ein Vielfaches des Richtungsvektors. Der Faktor ist somit dieser Streckungsfaktor und geht somit ebenfalls in das Gleichungssystem ein, indem wir mit diesem einfach einen zweiten Punkt X (samt dessen Bild X') erzeugen. Um diesen exakt zu berechnen, wird der Richtungsvektor von g' hier NICHT abgekürzt. Somit folgen nach deinen beiden ersten (richtigen) Gleichungen - (1), (2) - die nächsten beiden Gleichungen (3 und 4) aus ----------------------------------------------------------- __________________________ Somit kann das System mit den 4 Unbekannten a, c, d, vollständig aufgelöst werden. [a = 0; c = 3/2; d = -3/2; = -6] mY+ |
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