Funktionsgrenzwerte

20.03.2017, 09:11	kira123	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsgrenzwerte Meine Frage: Hallo ich rechne gerade alte Aufgaben durch und wuesste gern ob diese richtig sind Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{x \to \frac{\pi }{2}} (x-\frac{\pi }{2})(tan(x))<br /> =\lim_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{(2x-\pi)(sin(x)}{2cos(x)} <br /> <br /> ....l.Hospital=\lim_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{(2x-\pi)cos(x)+2sin(x) }{-2sin(x)} <br /> =\frac{-2}{2} =-1<br /> <br /> \end{eqnarray}$ und die zweite lautet $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \lim_{x \to - \infty } \frac{ln(1+e^{-x})}{\sqrt{1+x^{2} } } <br /> =(L.Hospital) \lim_{x \to - \infty } \frac{-e^{-x}\sqrt{1+x^{2} } }{(1+e^{-x})x } <br /> =(L.Hospital) \lim_{x \to - \infty } \frac{-e^{-x}(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2} }) } + e^{-x}(\sqrt{1+x^{2} )} }{(1+e^{-x})+(-e^{-x} )x } <br /> <br /> \end{eqnarray}$ desweiteren habe ich hier e ausgeklammert und gekuerzt..aber leider kamnichts sinnvolles raus. Waere dankbar fuer jeden weiteren Schritt! Liebe Gruesse , Kira
20.03.2017, 09:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das zweite L'Hospital bei Aufgabe 2 ist komplett überflüssig - investiere besser ein bisschen in die Vereinfachung des entstandenen Terms nach dem ersten L'Hospital: Für $\begin{align} x<0 \end{align}$ wie hier bei diesem Grenzübergang ist $\begin{align} -x = \|x\| = \sqrt{x^2} \end{align}$ , außerdem gilt $\begin{align} e^x\left(1+e^{-x}\right)=e^x+1 \end{align}$ und daher $\begin{align} \lim_{x \to -\infty} \frac{-e^{-x}\sqrt{1+x^2}}{\left(1+e^{-x}\right)x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{1+e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{e^x+1} \end{align}$ . Das rechts kannst du doch jetzt ausrechnen, oder?
20.03.2017, 09:55	kira123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohja, vielen Dank Der GW waere dann 1 LG
20.03.2017, 11:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert 1 ist richtig. Die Lösung zu Aufgabe 1 war übrigens auch Ok.

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