Induktion

20.03.2017, 12:10

Crudelita

Induktion

Ich soll zeigen, dass 3 "n^3+2n" teilt.
Ich will dies mit Induktion beweisen und kam am Ende auf "(n^3+2n) + (3n^2+3n+3)".
Die erste Klammer ist ja nach meiner Vorrausetzung durch 3 teilbar und die zweite Klammer ja auch?
weil ich ja einfach 3 mit (n^2+n+1) multiplizieren muss. Nun weiß ich aber nicht ob ich das einfach so trennen darf und wenn beide Klammern durch 3 teilbar sind, daraus folgt dass auch die Summe durch 3 teilbar ist??

LG

20.03.2017, 12:56

Matt Eagle

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RE: Induktion
Übrigens kannst Du auch einfach

$\begin{eqnarray*} n^3+2n=(n-1)n(n+1)+3n \end{eqnarray*}$

betrachten.
Dann brauchst Du für den Beweis keine Induktion mehr sondern nur noch einfaches Hingucken.

20.03.2017, 14:06

RavenOnJ

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RE: Induktion

Zitat:

Original von Crudelita
Ich soll zeigen, dass 3 "n^3+2n" teilt.
Ich will dies mit Induktion beweisen und kam am Ende auf "(n^3+2n) + (3n^2+3n+3)".
Die erste Klammer ist ja nach meiner Vorrausetzung durch 3 teilbar und die zweite Klammer ja auch?
weil ich ja einfach 3 mit (n^2+n+1) multiplizieren muss. Nun weiß ich aber nicht ob ich das einfach so trennen darf und wenn beide Klammern durch 3 teilbar sind, daraus folgt dass auch die Summe durch 3 teilbar ist??

Wenn du unbedingt willst, kannst du das natürlich auch mit Induktion beweisen, obwohl die Überlegungen von Matt einfacher sind. (Von quadratischen Resten will ich jetzt gar nicht anfangen, obwohl dies hier auch nutzbringend wäre, denn es gibt nur den quadratischen Rest 1 modulo 3.)

Es ist natürlich so, dass eine Summe durch $\begin{align*} k \end{align*}$ teilbar ist, wenn alle Summanden durch $\begin{align*} k \end{align*}$ teilbar sind.
Distributivgesetz: $\begin{align*} kx+ky=k(x+y) \end{align*}$

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