Fragen zur Integralrechnung

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nitramus Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zur Integralrechnung
Ich habe ein zwei Fragen zur Integralrechnung, insbesondere zur Notation:

1. Stammfunktionen können mit dem Hauptsatz berechnet werden:

D.h ich wähle irgendein , um eine Stammfunktionen zu bestimmen. Wieso lässt man dann oft beim Bestimmen der Stammfunktion die Integrationsgrenzen weg? Also:


2. Die Substitutionsregel lautet:

Wieso verwendet man so oft Umformungen dieser Art:
wird zu anstatt einfach den Satz anzuwenden? Und ist diese Umformung wirklich mathematisch korrekt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Integralrechnung
Zitat:
Original von nitramus
1. Stammfunktionen können mit dem Hauptsatz berechnet werden:

D.h ich wähle irgendein , um eine Stammfunktionen zu bestimmen.

Hiermit erhält man eine (und genau eine) konkrete Stammfunktion.

Zitat:
Original von nitramus
Wieso lässt man dann oft beim Bestimmen der Stammfunktion die Integrationsgrenzen weg? Also:


Hier steht F(x) für die Menge aller möglichen Stammfunktionen und ist damit nicht eindeutig bestimmt.

Zitat:
Original von nitramus
Wieso verwendet man so oft Umformungen dieser Art:
wird zu anstatt einfach den Satz anzuwenden? Und ist diese Umformung wirklich mathematisch korrekt?

Die Umformungen lassen sich etwas leichter merken als die Substitutionsregel. Sie sind auch nur im Zusammenhang mit der Substitutionsregel zu verstehen und anzuwenden.
nitramus Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dann dürfen nach eigentlich keine Rechnungen wie Substitutionsregel folgen, da diese ja nur für bestimmte Integrale definiert sind, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Hier steht F(x) für die Menge aller möglichen Stammfunktionen und ist damit nicht eindeutig bestimmt.


Das kann man auch anders sehen. Sicher wäre die Deutung "Menge aller Stammfunktionen" nach strengen Maßstäben die bessere, weil sie logisch einwandfrei wäre. Sie würde allerdings bei folgerichtiger Notation zu Ungetümen wie



führen. Und selbst hier sind der besseren Lesbarkeit halber wesentliche Dinge noch nicht zum Ausdruck gebracht (zum Beispiel fehlen die Mengen, denen die Variablen, über die quantifiziert wird, angehören).

Ich ziehe daher eine andere Lesart vor:



Bei dieser Interpretation muß man allerdings damit leben, daß das Gleichheitszeichen nicht im üblichen Sinn gebraucht wird, sondern hier "Gleichheit modulo einem konstanten Summanden" bedeutet. Ein berühmtes nichttriviales Beispiel:

Für und gilt beide Male . Daraus ergibt sich



Der bekannte Fehlschluß (und hier ist das Gleichheitszeichen im üblichen Sinn gemeint) rührt von der Mißachtung dieser "Gleichheit modulo einem konstanten Summanden". Man darf eben nur schließen: .

Zitat:
Original von nitramus
Aber dann dürfen nach eigentlich keine Rechnungen wie Substitutionsregel folgen, da diese ja nur für bestimmte Integrale definiert sind, oder?


Dann gehen auch Dinge wie die Substitutionsregel, etwa, um einmal etwas Verrücktes zu machen, so:





Man muß sich nur klarmachen, daß man unter den unendlich vielen Stammfunktionen jetzt eine ganz spezielle ausgewählt hat.
nitramus Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Sie hat geholfen smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hinsichtlich "Gleichheit modulo einem konstanten Summanden" will ich mal noch anmerken, dass dies so nur für Funktionen mit zusammenhängenden Definitionsbereich (im eindimensionalen bedeutet das Intervall) gilt. Gibt es da Lücken, dann wird es mit der Vielfalt der Stammfunktionen noch ein wenig komplizierter: So ist z.B. für mit jede Funktion



mit beliebig wählbaren reellen eine Stammfunktion von auf dem Definitionsbereich . Mit dem vielfach anzutreffenden erwischt man also genau genommen nur einen Teil der möglichen Stammfunktionen. Augenzwinkern
 
 
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