Definitionsbereich trigonometrischer Funktion

20.03.2017, 17:18

Helpmeplease00

Definitionsbereich trigonometrischer Funktion

Kann mir bitte jemand erklären warum der Definitionsbereich von

$\begin{eqnarray*} cos(arccos(x)) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ liegt, während der $\begin{eqnarray*} arcsin(sin(x)) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

20.03.2017, 17:25

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Der arccos ist die Umkehrfunktion des Cosinus. Dieser ist periodisch und es gibt eigentlich keine Umkehrfunktion. Beschränkt man das Intervall auf nur eine Periode, kann man aber die Umkehrung bilden. x ist deshalb im Intervall -1 bis 1 beschränkt.
Beim arcsin ist das Argument ja der Sinus. Der schwankt ohnehin nur zwischen -1 und 1. Egal was wir mit dem x machen. Deswegen können wir da ruhig alle reelle Zahlen wählen Augenzwinkern

20.03.2017, 17:33

Helpmeplease00

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Skizze links oben zeigt aber das, das Intervall von $\begin{eqnarray*} arccos [0, \pi] \end{eqnarray*}$ eingeschränkt ist? Und nicht $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$

20.03.2017, 17:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helpmeplease00
Kann mir bitte jemand erklären warum der Definitionsbereich von

$\begin{eqnarray*} cos(arccos(x)) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ liegt, während der $\begin{eqnarray*} arcsin(sin(x)) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Ein Apfel-Birnen-Vergleich. Der richtige Apfel-Apfel-Vergleich wäre der mit $\begin{eqnarray*} \sin(\arcsin(x)) \end{eqnarray*}$ gewesen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Helpmeplease00
Die Skizze links oben zeigt aber das, das Intervall von $\begin{eqnarray*} arccos [0, \pi] \end{eqnarray*}$ eingeschränkt ist?

Diese Skizze zeigt nicht $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ , und den eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ .

20.03.2017, 18:19

Helpmeplease00

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann begreife ich aber immer noch nicht waurm wir für arcsin(sin(x)) alle reelen Zahlen übernehmen können, wenn doch der sinus nur zwischen 1 bzw. -1 schwankt. - Das sind ja nicht alle reelen Zahlen oder?

20.03.2017, 18:26

Helpmeplease00

Auf diesen Beitrag antworten »

Und müsste man nicht auch für sinus ein Einschränkung bilden um die umkehrfunktion bilden zu können?
Also
[1/2pi, 3/2 pi] ???

20.03.2017, 18:32

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Du vergisst, dass der Sinus im Argument des Arcussinus steht. Der Arcussinus will auch nur ein Argument haben, das sich zwischen -1 und 1 bewegt. Da der Sinus (der ist ja das Argument des Arcussinus) für jedes beliebige reelle x aber ohnehin nur zwischen -1 und 1 schwankt, kann hier der Definitionsbereich mit x € R angegeben werden.

20.03.2017, 18:51

Helpmeplease00

Auf diesen Beitrag antworten »

Der kosinus und der arkuskosinus als argument, schwankt auch lediglich bei -1 uns 1.
Warum musste das intervall hier eingeschrankt werden um die umkehrfunktion zu bilden, während bei arkussinus und sinus als argument keine umkehrfunktion gebildet wird und somit keine "einschränkung"?

20.03.2017, 19:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Ein Apfel-Birnen-Vergleich. Der richtige Apfel-Apfel-Vergleich wäre der mit $\begin{eqnarray*} \sin(\arcsin(x)) \end{eqnarray*}$ gewesen. Augenzwinkern

Hast du leider komplett ignoriert. Dann muss ich wohl deutlicher werden:

Nur weil der Term $\begin{align*} \arcsin(\sin(x)) \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ erklärt ist heißt das nicht, dass $\begin{align*} \arcsin \end{align*}$ die Umkehrfunktion von $\begin{align*} \sin \end{align*}$ auf ganz (!) $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ ist. Schauen wir uns doch mal den Graph dieser Funktion an:

Nur im Intervall $\begin{align*} \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \arcsin(\sin(x))=x \end{align*}$ , und genau dieses Intervall ist es auch, wo die Umkehrung von $\begin{align*} \sin \end{align*}$ tatsächlich $\begin{align*} \arcsin \end{align*}$ ist.

Analog für den Kosinus:

Hier ist es das Intervall $\begin{align*} \left[ 0,\pi\right] \end{align*}$ , wo $\begin{align*} \arccos(\cos(x))=x \end{align*}$ gilt, und entsprechend ist dies das Intervall, wo die Umkehrung von $\begin{align*} \cos \end{align*}$ tatsächlich $\begin{align*} \arccos \end{align*}$ ist. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Definitionsbereich trigonometrischer Funktion

Verwandte Themen