Unendliche Mengen und Vollständige Verbände

20.03.2017, 20:14

Zemnux

Unendliche Mengen und Vollständige Verbände

Meine Frage:
In unserem Vorlesungsskript steht, dass wenn in einer partiellen Ordnung Suprema generell existieren, dass dann auch Infima generell existieren und es somit ein vollständiger Verband ist.

Meine Ideen:
Allerdings hat doch der Verband der natürlichen Zahlen geordnet mit der Realtion kleiner gleich, für jede Teilmenge ein Supremum z.B. für {1,2,3}1 da diese kleiner gleich alle Elemente der Teilmenge ist und für die unendliche Teilmenge 0 da 0 kleiner gleich alle natürlichen Zahlen ist, somit existiert für jede Teilmenge ein Supremum und laut Skript müsste dann auch für alle ein Infimum existieren, aber die unendliche Teilmenge hat ja kein Infimum, da es keine Zahl gibt von der alle anderen Zahlen kleiner gleich sind. Was verstehe ich falsch?

20.03.2017, 20:39

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht, die Aussage ist falsch, dein Gegenbeispiel ist aber nicht richtig. Du scheinst Supremum und Infimum vertauscht zu haben. Außerdem kann man die Eigenschaft natürlich nicht mit Beispielen belegen. Die Wohlordnung der natürlichen Zahlen garantiert aber, dass jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element und damit auch ein Infimum hat. Offenbar hat aber die volle Menge kein Supremum. Kehrt man die Ordnung um, hat man damit ein Gegenbeispiel gefunden.

Etwas einfacher ist vielleicht $\begin{align*} (0,1] \end{align*}$ mit der üblichen Ordnung.

21.03.2017, 13:27

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Clearly_wrong
Du hast Recht, die Aussage ist falsch, ...

Da ist jemand aber ganz anderer Meinung:
Mathematik für Informatiker I, S. 99

21.03.2017, 13:40

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

@Raven

Der Beweis ist falsch. Man benutzt implizit, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal O_X \end{eqnarray*}$ nicht-leer ist. Clearly_wrong hat aber Gegenbeispiele angegeben, wo das der Fall ist (der Fall sein muss.)

21.03.2017, 13:46

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe zu, den Beweis nicht gelesen zu haben. Werde das dann noch nachholen.

21.03.2017, 16:55

005

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, es wird da definiert: $\begin{eqnarray*} (V,\preceq) \end{eqnarray*}$ heisst vollstaendiger Verband $\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow\forall X\subset V:\inf(X) \end{eqnarray*}$ existiert und $\begin{eqnarray*} \sup(X) \end{eqnarray*}$ existiert. Da sind die Faelle $\begin{eqnarray*} X=\emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=V \end{eqnarray*}$ ausdruecklich mitverlangt.

21.03.2017, 17:00

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah Danke

. In den vorigen Beispielen existierte also $\begin{eqnarray*} \inf \emptyset \end{eqnarray*}$ also nicht, die Voraussetzung war also nicht erfüllt.

Dann darf man natürlich mit $\begin{eqnarray*} \mathcal O_X = \emptyset \end{eqnarray*}$ arbeiten.

21.03.2017, 19:55

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis bleibt trotzdem falsch.

Es fängt sofort zu Beginn der Argumentation an: Es soll gezeigt werden, dass $\begin{align*} \sup(X) \leq \inf(\mathcal O_X) \end{align*}$ und umgekehrt. Bevor man sowas aber zeigen kann, muss man sich erstmal über die Existenz des Ausdrucks auf der linken Seite Gedanken machen, sonst bleibt die komplette folgende Argumentation sinnentlehrt. Dies wurde hier versäumt und ist der entscheidende Fehler. Der Beweis zeigt: Wenn $\begin{align*} \sup(X) \end{align*}$ existiert, dann ist $\begin{align*} \sup(X) = \inf(\mathcal O_X) \end{align*}$ . Diese Existenz wird aber vorausgesetzt, womit der Beweis des Satzes seine eigene Aussage voraussetzt.

Es mag sein, dass die Aussage richtig ist, das habe ich mir noch nicht überlegt. Der Beweis zeigt das aber nicht.

21.03.2017, 20:22

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig könnte man den Beweis etwa so führen: Man muss nur ein paar Worte verändern, dann stimmt er.

$\begin{align*} \inf(\mathcal O_X) \end{align*}$ is obere Schranke an $\begin{align*} X \end{align*}$ : Für jedes $\begin{align*} x\in X, o\in\mathcal O_X \end{align*}$ gilt $\begin{align*} x\leq o \end{align*}$ , also ist jedes solche $\begin{align*} x \end{align*}$ untere Schranke an $\begin{align*} \mathcal O_X \end{align*}$ , somit $\begin{align*} \inf(\mathcal O_X)\geq x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ . Das funktioniert auch, wenn $\begin{align*} \mathcal O_X \end{align*}$ leer ist.

$\begin{align*} \inf (\mathcal O_X) \end{align*}$ ist kleinste obere Schranke: Sei $\begin{align*} o \end{align*}$ beliebige obere Schranke an $\begin{align*} X \end{align*}$ . Dann $\begin{align*} o\in\mathcal O_X \end{align*}$ , also $\begin{align*} \inf(O_X)\leq o \end{align*}$ .

Man musste im Prinzip nur die Überschriften der beiden Beweisschritte ändern. Dennoch ist der Beweis im Skript komplett falsch.

22.03.2017, 14:05

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Clearly_wrong
Der Beweis bleibt trotzdem falsch.

Es fängt sofort zu Beginn der Argumentation an: Es soll gezeigt werden, dass $\begin{align*} \sup(X) \leq \inf(\mathcal O_X) \end{align*}$ und umgekehrt. Bevor man sowas aber zeigen kann, muss man sich erstmal über die Existenz des Ausdrucks auf der linken Seite Gedanken machen, sonst bleibt die komplette folgende Argumentation sinnentlehrt. Dies wurde hier versäumt und ist der entscheidende Fehler. Der Beweis zeigt: Wenn $\begin{align*} \sup(X) \end{align*}$ existiert, dann ist $\begin{align*} \sup(X) = \inf(\mathcal O_X) \end{align*}$ . Diese Existenz wird aber vorausgesetzt, womit der Beweis des Satzes seine eigene Aussage voraussetzt.

Es mag sein, dass die Aussage richtig ist, das habe ich mir noch nicht überlegt. Der Beweis zeigt das aber nicht.

Dies sehe ich anders. Es ist Voraussetzung, dass für alle $\begin{align*} X\subseteq V \end{align*}$ das Infimum $\begin{align*} \inf(\mathcal O_X) \end{align*}$ existiert. Auch für $\begin{align*} \mathcal O_X=\emptyset \end{align*}$ . In dem Fall muss gelten $\begin{align*} \inf(\mathcal \emptyset) = \sup(V) \end{align*}$ . Die Voraussetzung der generellen Existenz aller Infima impliziert also die Existenz von $\begin{align*} \sup(V) \end{align*}$ . Es gebe nun eine Teilmenge $\begin{align*} Y\subset V \end{align*}$ , für die das Supremum $\begin{align*} \sup(Y) \end{align*}$ nicht existiert. Es gilt allerdings $\begin{align*} \sup(V)\text{ existiert }\Rightarrow \sup(Y)\le \sup(V) \end{align*}$ . Da nun $\begin{align*} \sup(V) \end{align*}$ existiert, muss auch $\begin{align*} \sup(Y) \end{align*}$ existieren. Die Annahme der Nichtexistenz ist also falsch.

22.03.2017, 14:59

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst den gleichen Fehler, wie der Autor des Skriptes. Ja, $\begin{align*} \sup(V) \end{align*}$ existiert nach Voraussetzung. Das heißt aber nicht, dass auch $\begin{align*} \sup(Y) \end{align*}$ für jedes $\begin{align*} Y\subset V \end{align*}$ existiert. Diese Existenz gilt es nachzuweisen und dafür muss man zeigen, dass der Kandidat einerseits eine obere Schranke ist und andererseits jede andere obere Schranke größer ist.

Dein Denkfehler scheint in dieser Behauptung zu liegen:

Zitat:

Es gilt allerdings $\begin{align*} \sup(V) \text{ existiert } \Rightarrow \sup(Y)\leq \sup(V) \end{align*}$ .

Das stimmt einfach nicht. Du bekommst die Existenz von $\begin{align*} \sup(Y) \end{align*}$ nicht einfach daraus, dass $\begin{align*} \sup(V) \end{align*}$ existiert. Vergleiche dafür zum Beispiel mit $\begin{align*} V := \mathbb Q\cap[0,1] \end{align*}$ . Offensichtlich existiert $\begin{align*} \sup(V) \end{align*}$ , aber nicht jede Teilmenge von V hat ein Supremum. Du magst nun vielleicht sagen, dass dieses $\begin{align*} V \end{align*}$ ja auch die Voraussetzung der Existenz genereller Infima nicht erfüllt. Aber diese Voraussetzung hast du ja auch selbst garnicht mehr benutzt, um aus der Existenz von $\begin{align*} \sup(V) \end{align*}$ fälschlicherweise die Existenz von $\begin{align*} \sup(Y) \end{align*}$ zu folgern.

Es führt hier kein Weg darum herum, die Definition des Supremums nachzurechnen.

Neue Frage »

Antworten »

Unendliche Mengen und Vollständige Verbände

Verwandte Themen