Grenzwertberechnung

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20.03.2017, 22:12	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung Meine Frage: Hallo, Ich soll den Grenzwert bestimmen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{n} }{e^{nx} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich kann mir denken, dass dies gegen 0 verläuft, da die exp.fkt schneller wächst als die Potenzfunktion. Aber wie kann ich das formal hier zeigen ? Mit l'hopital macht es wenig Sinn denke ich.. $\begin{eqnarray} \frac{1}{e^{nx} } x^{n} \end{eqnarray}$ wenn ich das so umschreibe und sage dass der erste bruch gegen 0 konv. und das ganze damit gg 0 , wäre das zu schwach argumentiert ? Viele Grüße und danke schonmal
20.03.2017, 22:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte l'Hospital keinen Sinn machen? Du kannst per Induktion zeigen, welche Formel sich im k-ten Schritt ergibt und daraus folgern, dass der Grenzwert Null ist. Ein schnellerer Weg ist das Ausnutzen von Potenzgesetzen.
20.03.2017, 22:24	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
hm,das mit der Induktion ist glaub ich ziemlich aufwendig dafür dass es sowenig Punkte für die Aufgabe gibt deswegen... Könnten Sie mir das mit den Potenzgesetzen näher erläutern ?
20.03.2017, 22:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht um $\begin{align} e^{nx} \end{align}$ . Das kannst Du wie schreiben?
20.03.2017, 22:47	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (e^{n})^{x} \end{eqnarray}$ so ..aber inwiefern hilft mir das weiter
20.03.2017, 22:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Form hilft es tatsächlich nicht weiter, wohl aber als $\begin{align} (e^x)^n \end{align}$
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20.03.2017, 23:03	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
mit x gegen unendlich verläuft dieser Ausdruck ja gegen unendlich..
20.03.2017, 23:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist zwar richtig, tut aber nicht wirklich zur Sache. Wir waren bei der Vereinfachung von $\begin{align} \frac{x^n}{e^{nx}} \end{align}$ und haben nun herausgefunden, dass $\begin{align} \frac{x^n}{e^{nx}} = \frac{x^n}{(e^{x})^n} \end{align}$ Wie könntest Du das nutzen?
20.03.2017, 23:26	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
umschreiben in: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(e^{x})^{n} } x^{n} \end{eqnarray}$ und daraus folgern ,dass mit lim x gegen unendlich eine Nullfolge mit einer Konstanten multpliziert gegen null geht ?
20.03.2017, 23:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend ist es zu spät das offensichtliche zu sehen: $\begin{align} \frac{x^n}{e^{nx}} = \frac{x^n}{(e^{x})^n} = \left(\frac{x}{e^x}\right)^n \end{align}$ Den Grenzwert in der Klammer kennst Du (oder kannst Du zumindest berechnen), der potentierte folgt daraus.
20.03.2017, 23:46	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohjeee, jaa jetzt leuchtet es...vielen vielen Dank ehrlich ja x/e^x geht ja gegen null (ist eig offensichtlich wenn ich es aber doch zeigen müsste dann einfach damit dass 1/e^x gegen null geht und bekanntlich mit einer Konstanten x multipliziert somit gegen null geht (?) Und bekanntlich eine Nullfolge hoch n geht gegen null
20.03.2017, 23:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst nicht den Fehler machen, die Faktoren einzelnd zu betrachten. Es ist zwar richtig, dass $\begin{align} \lim_{x \to \infty}\frac1{e^x}=0 \end{align}$ , aber der zweite Faktor x gehen gleichzeitig gegen $\begin{align} \infty \end{align}$ . Das Produkt geht nicht zwangsläufig gegen Null. Hier wäre der Einsatz von L'Hospital dann schon die notwendige Begründung für die Nullfolge.
21.03.2017, 00:05	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt..Ok vielen Dank, dann weiß ich jetzt wie ich das nächste mal vorgehen soll

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