Basen Kern und Bild von f mithilfe einer Darstellungsmatrix

21.03.2017, 10:38

Flowm

Basen Kern und Bild von f mithilfe einer Darstellungsmatrix

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe, bei der ich mir relativ unsicher bin:

Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit geordneter Basis B=(b1,b2,b3,b4) und W ein K-Vektorraum mit geordneter Basis C=(c1,c2,c3)
Für die Lineare Abbildung f: V->W gelte $\begin{eqnarray*} M_{B,C}(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie Basen vom Kern von f und vom Bild von f

Meine Ideen:
Grundsätzlich ist ja die Basis vom Bild, die Anzahl an linear unabhängigen Vektoren in einer Matrix, also hier die ersten beiden Spaltenvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Ich bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt, weil hier ja eine Darstellungsmatrix vorliegt und nicht eine normal übliche.

zum Basis vom Kern:
Das ist ja die mögliche Lösungsmenge. Hier kann man ja x3 frei wählen in Abhängigkeit von x1. Würde dann die Basis vom Kern lauten (1,0,1,0)

Ich bin mir bei den Darstellungsmatrizen echt unsicher. Ich hoffe es kann mir jemand helfen.

21.03.2017, 11:56

klarsoweit

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RE: Basen Kern und Bild von f mithilfe einer Darstellungsmatrix
Leider ist deine Sprache ungenau, wenn es ins Detail geht.

Zitat:

Original von Flowm
Grundsätzlich ist ja die Basis vom Bild, die Anzahl an linear unabhängigen Vektoren in einer Matrix

Die Basis des Bildes ergibt sich aus den linear unabhängigen Spaltenvektoren (nicht aus der Anzahl derselben). Da die Spaltenvektoren Koordinatenvektoren bezüglich der Basis C sind, mußt du noch die linear unabhängigen Spaltenvektoren in die Basis C übersetzen.

Zitat:

Original von Flowm
zum Basis vom Kern:
Das ist ja die mögliche Lösungsmenge.

Äh?

Zitat:

Original von Flowm
Hier kann man ja x3 frei wählen in Abhängigkeit von x1.

Was denn nun? Kann man nun x3 frei wählen oder ist das abhängig von x1 ?
Außerdem: was ist mit x4 ?

21.03.2017, 12:25

Flown

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Wäre dann die Basis des Bildes: $\begin{eqnarray*} \left\{ \lambda * \begin{pmatrix} c1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} 0 \\ c2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Also dann würde ich sagen, dass x3 in Abhängigkeit von x1 ist und dafür x1 frei wählbar ist. Das kann auch anders rum sein?

x4 müsste auch frei wählbar sein, da es in der Darstellungsmatrix nicht auftaucht, oder?
x2 müsste null sein, da 2x2=0 gilt.
Bildet man den Kern hier diesmal dann aus B?

so würde die Basis vom Kern doch $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ sein

Außer wenn wieder durch die einsen das jeweilige b eingesetzt werden muss, also:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} b1 \\ 0 \\ b3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ b4 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Hilfe!

21.03.2017, 12:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Flown
Wäre dann die Basis des Bildes: $\begin{eqnarray*} \left\{ \lambda * \begin{pmatrix} c1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} 0 \\ c2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Du vermengst hier ganz schön die Begriffe Vektor und Komponente eines Vektors. c1 ist ein Vektor (der 1. Basisvektor der Basis C). Was hat der in der 1. Komponente eines Vektors zu suchen? Außerdem haben Linearfaktoren in der Angabe einer Basis gar nichts zu suchen.

Zitat:

Original von Flown
Also dann würde ich sagen, dass x3 in Abhängigkeit von x1 ist und dafür x1 frei wählbar ist. Das kann auch anders rum sein?

In dieser besonderen Situation geht das. Üblicherweise gibt aber der Gauß-Algorithmus eine andere Auskunft. Danach sind x1 und x2 nicht frei wählbare Variablen und x3 und x4 frei wählbare Variablen.

Zitat:

Original von Flown
Außer wenn wieder durch die einsen das jeweilige b eingesetzt werden muss, also:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} b1 \\ 0 \\ b3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ b4 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Wie auch beim Bild, hast du Vektoren in Komponenten verbaut. unglücklich

21.03.2017, 12:57

Flown

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schreibt man hierfür dann einfach { c1 + c2 } für die Basis des Bildes?

Für den Kern weiß ich überhaupt nicht wie die schreibweise funktioniert, kann ich b4 schonmal als Teil der Basis des Kerns nehmen?
für b1 und b3 weiß ich nicht wie ich das formulieren soll... ich stehe hier echt auf dem Schlauch

Also {...., b4} ?

21.03.2017, 14:27

klarsoweit

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RE: Basen Kern und Bild von f mithilfe einer Darstellungsmatrix
Du hast anscheinend Schwierigkeiten, deine Koordinatenvektoren in die zugehörigen Vektoren im jeweiligen Vektorraum umzurechnen. Dabei ist das doch denkbar einfach. Aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} 1 \cdot c_1 + 0 \cdot c_2 + 0 \cdot c_3 \end{eqnarray*}$ , usw.

Analog läuft das mit den Vektoren des Kerns.

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