Definition Basis

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nitramus Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Basis
Eine Menge B heißt ja Basis, wenn
1. ihre Vektoren linear unabhängig sind und
2. ihre Vektoren den Vektorraum aufspannen.

Meine Frage: Warum ist Bedingung 1 notwendig? Folgt sie nicht direkt aus Bedingung zwei?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge {(1,0), (2,0),(3,0), (0,1)] im zweidimensionalen reellen Raum erfüllt Bedingung 2 aber nicht 1.
Bedingung 1 folgt daher nicht aus Bedingung 2.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die zwei Bedingungen sind außerdem alles andere als ähnlich, eher stellen sie gegenteilige Forderungen.

Bedingung 1 fordert, dass die Menge B möglichst klein ist -- je kleiner, desto leichter ist es linear unabhängig zu sein.
Bedingung 2 fordert, dass die Menge B möglichst groß ist -- je größer, desto leichter spannt es den Vektorraum auf.

Eine Basis ist der optimale Kompromiss der beiden Forderungen.
nitramus Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, danke für die schnellen Antworten Augenzwinkern
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