Volumen eines aufgespannten Parallelogramms

21.03.2017, 14:31	Blaubier	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines aufgespannten Parallelogramms Meine Frage: Hallo, meine Frage lautet, "Was ist das Volumen des von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgespannten Parallelograms? Meine Ideen: Wären drei Vektoren im R^3 gegeben, wäre das ganze kein Problem für mich. Hätte den Betrag des Kreuzprodukts von den Vektoren A und B berechnet (Fläche). Und für das Volumen dann das ganze mit dem Vektor C multipliziert. Oder mit den Vektoren eine orthogonale Trafo-Matrix aufgestellt und davon die Determinante.
21.03.2017, 14:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Parallelogramm sollte man besser von Flächeninhalt statt Volumen sprechen. Wird das Parallelogramm von den Vektoren $\begin{align} \vec{a}, \vec{b} \end{align}$ aufgespannt, so besitzt es den Flächeninhalt $\begin{align} F = \sqrt{\vec{a}^{\, 2} \vec{b}^{\, 2} - \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right)^2} \end{align}$ Diese Formel gilt in jeder Dimension. Und die Multiplikation von Vektoren ist hier natürlich im Sinne des Standardskalarproduktes zu verstehen. Im zweidimensionalen Fall vereinfacht sich die Formel zu $\begin{align} F = \left\| \det \left( \vec{a} \, , \, \vec{b} \right) \right\| \end{align}$ Und im dreidimensionalen Fall zu $\begin{align} F = \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\| \end{align}$ Man kann auch zweidimensionale Vektoren künstlich zu dreidimensionalen aufblasen, indem man eine dritte Koordinate 0 einführt. Dann kann man auch im Zweidimensionalen mit der dritten Formel arbeiten.
21.03.2017, 14:47	Blaubier	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau dieser Punkt mit 'Flächeninhalt" bezüglich eines Parallelogramms hat mich verwirrt. Doch genauso stand es in der Prüfung. Vielen Danke für deine schnelle und hilfreiche Antwort!

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