Grenzwert im Wertebereich

21.03.2017, 14:35

PHBU

Grenzwert im Wertebereich

Hallo Forumnutzer,

ich habe im Internet jetzt verschiedene Meinungen gesehen und muss hier nochmal nachfragen:
Der Wertebereich einer Funktion enthält NICHT die Grenzwerte, richtig?

Bsp.:

$\begin{eqnarray*} f\colon\left\{\nu\in\mathbb{R}~\middle|~\nu\neq0\right\}\to\left\{\nu\in\mathbb{R}~\middle|~\nu\neq0\right\},x\mapsto x^{-1} \end{eqnarray*}$

Begründung: Der Definitionsbereich (alle reellen Zahlen außer 0) beinhalten kein Element, dass 0 zurückgegeben wird. Schließlich gilt ja: $\begin{eqnarray*} \infty\not\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Folglich müsste dann für die Gauß'sche Fehlerfunktion erf mit Standardparametern gelten:

$\begin{eqnarray*} \text{erf}\colon\mathbb{R}\to\left\{\nu\in\mathbb{R}~\middle|~-1<\nu<1\right\} \end{eqnarray*}$

Die Funktion wäre dann surjektiv. Injektiv würde sie mit den Grenzwerten werden, also

$\begin{eqnarray*} \text{erf}\colon\mathbb{R}\to\left\{\nu\in\mathbb{R}~\middle|~-1\leq\nu\leq1\right\} \end{eqnarray*}$

Bitte um Bestätigung und danke im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

21.03.2017, 15:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von PHBU
Der Wertebereich einer Funktion enthält NICHT die Grenzwerte, richtig?

Ich würde es zwar nicht so formulieren, aber aus deinen Folgebeispielen wird klar, was du meinst - und da kann ich zustimmen.

Zitat:

Original von PHBU
Die Funktion wäre dann surjektiv. Injektiv würde sie mit den Grenzwerten werden

Mit injektiv hat dies nichts zu tun:

$\begin{eqnarray*} \text{erf}\colon\mathbb{R}\to\left\{\nu\in\mathbb{R}~\middle|~-1<\nu<1\right\} \end{eqnarray*}$

ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

Legt man hingegen die Zielmenge anders fest gemäß

$\begin{eqnarray*} \text{erf}\colon\mathbb{R}\to\left\{\nu\in\mathbb{R}~\middle|~-1\leq\nu\leq1\right\} \end{eqnarray*}$ ,

dann ist diese Funktion nur noch injektiv, aber nicht mehr surjektiv (die beiden äußeren Werte +1 und -1 werden nicht als Funktionswerte angenommen).

21.03.2017, 15:26

PHBU

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Danke!
Dankeschön HAL 9000! Wie ich's mir dachte...

Zitat:

Ich würde es zwar nicht so formulieren

Also lieber:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}f\left(x\right)=0\not\in W \end{eqnarray*}$
wobei W der Wertebereich der Funktion f ist.

Gruß!

13.05.2017, 21:47

PHBU

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Gamma-Funktion
Guten Abend,

ich wollte keinen neues Thema eröffnen, deshalb setze ich nun hier fort.

Es geht um die Surjektivität der Gamma-Funktion. Diese Funktion war ja wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \Gamma\left(x\right)=\frac 1x\cdot\prod\limits_{n\in\mathbb N}\frac{n}{x+n}\cdot\left(\frac 1n+1\right)^x \end{eqnarray*}$

Was stimmt nun bzgl. der Surjektivität?

$\begin{eqnarray*} \Gamma\colon\left\{\nu\in\mathbb C\;\middle|\;\nexists n\in\mathbb N_0\colon\mathfrak R\left(v\right)=-2n\right\}\twoheadrightarrow\mathbb C \end{eqnarray*}$ ist surjektiv

$\begin{eqnarray*} \Gamma\colon\left\{\nu\in\mathbb C\;\middle|\;\nexists n\in\mathbb N_0\colon\mathfrak R\left(v\right)=-2n\right\}\twoheadrightarrow\mathbb C\setminus\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ist surjektiv

Ich vermute, dass sich der Funktionsgraph der X-Achse nur annähert, nicht aber berührt oder schneidet. Ist meine Annahme richtig? Der Funktionsgraph sieht wie folgt aus (unvollständig vermute ich, da Programm zu wenig Resourcen hat Big Laugh

):

[attach]44446[/attach]

Danke für Eure Hilfe!

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

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