Grenzwert l'Hopital

21.03.2017, 18:03	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert l'Hopital Meine Frage: Hallo, ich soll untersuchen ob der Grenzwert existiert und ggfalls diesen angeben: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 } \frac{x^2}{cos(x)^3 -1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Cosinus Funktion und x^2 sind überall differenzierbar,d.h die Funktion ist als Komposition differenzierbarer Funktion wieder insbesondere in 0 differenzierbar. Wir haben einen Grenzwertprozess der Form "0"/"0" und können vermeintlich L'hopital anwenden sofern der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 } \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}$ existiert. Ich erhalte mit Bildung der Ableitungen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{2x}{-3cos(x)^2sin(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{2}{6cos(x)sin(x)^2-3cos(x)^3}=-\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ Der Grenzwert existiert d.h der Ausgangsgrenzwert existiert ebenso somit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 } \frac{x^2}{cos(x)^3 -1} = -\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ Mir kommt der Grenzwert aber sehr unrealistisch rüber weiß aber nicht was genau mein Fehler ist..hoffe mir kann jemand helfen. Grüße
21.03.2017, 18:20	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert l'Hopital Der Grenzwert stimmt so
21.03.2017, 22:07	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was gefällt Dir daran nicht?
21.03.2017, 22:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch $\begin{align} \frac{x^2}{\cos^3(x)-1} = -\frac{x^2}{1-\cos(x)}\cdot \frac{1}{1+\cos(x)+\cos^2(x)} = -\left(\frac{x}{\sin(x)}\right)^2\cdot \frac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)+\cos^2(x)} \end{align}$ im Zusammenhang mit $\begin{align} \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin(x)} = 1 \end{align}$ nutzen, um auf den Grenzwert $\begin{align} -\frac{2}{3} \end{align}$ zu kommen.

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