Konvergenz einer Reihe mit Wurzelkriterium zeigen

22.03.2017, 15:10	Stark	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe mit Wurzelkriterium zeigen Meine Frage: Hallo, die Aufgabe lautet mit dem Wurzelkriterium festzustellen ob die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ konvergiert. Meine Ideen: Dazu muss ich feststellen ob $\begin{eqnarray} \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{ \frac{n}{(n+1)!}} \le 1 \end{eqnarray}$ . Da bin ich bis zu einem Schritt gekommen, an dem ich keine Vereinfachung finden kann: $\begin{eqnarray} \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{ \frac{n}{(n+1)!}} = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]n}{\sqrt[n](n+1)!} = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n](n+1)!} \end{eqnarray}$ . Kann mir da jemand einen Denkanstoß geben? Danke im Vorraus.
22.03.2017, 15:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfreich wäre vorab eine Abschätzung von $\begin{align} n! \end{align}$ nach unten durch eine Potenz, wie z.B. $\begin{align} n! \geq \left( \frac{n}{e} \right)^n \end{align}$ , beweisbar durch vollständige Induktion.
22.03.2017, 15:29	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder ohne vollständige Induktion mit $\begin{align} e^n = \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!} \geq \frac{n^n}{n!} \end{align}$
22.03.2017, 16:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant, dass man auch über diese Ecke rankommt.
23.03.2017, 16:54	Stark	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten. D.h. ich kann sagen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!} = (\sum_{n=1}^n \frac{n}{(n+1)!})_{n \in \mathbb N} \leqq (\sum_{n=1}^n \frac{n}{(\frac{n}{e})^n})_{n \in \mathbb N} = (\sum_{n=1}^n \frac{ne^n}{n^n})_{n \in \mathbb N} = \sum_{n=1}^\infty \frac{ne^n}{n^n} \end{eqnarray}$ Damit folgt: $\begin{eqnarray} \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n}{(n+1)!}} \leqq \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{ne^n}{n^n}} = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]n \sqrt[n]e^n}{\sqrt[n]n^n} = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{e}{n} = 0 < 1 \end{eqnarray}$ und somit konvergiert die Reihe. Ist das korrekt?
23.03.2017, 19:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte leicht variiert an $\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{(n+1)!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \leq \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{e}{n}\right)^n \end{align}$ gedacht, aber es geht auch so wie bei dir.
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