Aufgabe Kern von Linearer Abbildung

22.03.2017, 18:17	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe Kern von Linearer Abbildung Hallo zusammen, bin gerade auf folgende Aufgabe gestoßen: Sei V ein n-dimensionaler VR über dem Körper K. Wir betrachten $\begin{eqnarray} f, g \in Hom(V,K) mit f,g \neq \end{eqnarray}$ 0 als Elemente des K-VR der linearen Abbildungen von V nach K. zz: f,g sind genau dann linear abhängig, wenn ker(f) = ker(g) ist. In der ersten Teilaufgabe habe ich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray} dim(ker(f)) = dim(ker(g)) = n-1 \end{eqnarray}$ gilt. Wie gehe ich da vor? Dualräume hatte ich noch nicht, ist das auch ohne diese Theorie lösbar? Danke schonmal.
22.03.2017, 19:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Meistens ist bei solchen "genau dann, wenn" - Aufgaben eine Richtung trivial. Schreibe auf, was es heißt, dass f und g linear abhängig sind und erkenne daran die Gleichheit der Kerne. Lerne etwas daraus, betrachte die Urbilder der 1, und beweise damit die Umkehrung. (Genau ausgeführt habe ich die Idee auch noch nicht, sieht aber schon vielversprechend aus.)
23.03.2017, 17:11	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde leider keinen Ansatz, nicht mal für die "triviale" Richtung. Könnte ich noch einen Tipp bekommen?
23.03.2017, 18:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Vektoren $\begin{eqnarray} f, g\in V \end{eqnarray}$ sind linear abhängig, wenn es einen Skalar $\begin{eqnarray} a \in K \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} f=ag \end{eqnarray}$ . Für Funktionen heißt das $\begin{eqnarray} \exists a\in K \forall x\in V f(x)=a\cdot g(x) \end{eqnarray}$ ... ist das nun trivial genug ?
23.03.2017, 18:38	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) = ag(x) \Rightarrow f(x) = g(ax) \Rightarrow ker(f) = ker(g) \end{eqnarray*}$ Ist diese Folgerungskette dann so schlüssig? Wie sollte ich an die Rückrichtung rangehen?
23.03.2017, 18:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erschließt sich mir nicht. So trivial ist es nun auch wieder nicht. Die Rückrichtung erfordert Nachdenken, Phantasie und Kreativität (so wie immer in der Mathematik).
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