Kurve, Bild in der Menge enthalten

22.03.2017, 18:22	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurve, Bild in der Menge enthalten Hallo, die Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} \gamma : R \rightarrow R^3 \end{eqnarray}$ die Kurve $\begin{eqnarray} \gamma(t)=(cost,sint,t) \end{eqnarray}$ . a) Berechnen Sie die Ableitung und skizzieren Sie das Bild von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ . b) Beweisen Sie, dass das Bild von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ in der Menge $\begin{eqnarray} \{(x,y,z) \in R^3 : x^2+y^2=1\} \end{eqnarray}$ enthalten ist. c) Berechnen Sie $\begin{eqnarray} g^\prime_i(t) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} g_i=f_i \circ \gamma \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f_1(x,y,z)=e^{-z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2(x,y,z)=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_3(x,y,z)=xyz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_4(x,y,z)=x+y+z \end{eqnarray}$ Die Ableitung von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ habe ich berechnet, und ist gleich $\begin{eqnarray} (-sin(t),cos(t),1) \end{eqnarray}$ . Bild habe ich auch skizziert. Ich habe Probleme mit dem b) - wie kann man das beweisen? und zum c) : wäre das richtig? $\begin{eqnarray} g_1 = e^{-t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_2 = cos^2(t)+sin^2(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_3 = cos(t)sin(t)t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_4 = cos(t)+sin(t)+t \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich noch jeweils Ableitung berechnen? Liebe Grüsse David
22.03.2017, 23:12	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zu zeigen, dass $\begin{align} \operatorname{Bild}(\gamma)\subset \{(x,y,z)\in\mathbb R^3: x^2+y^2 = 1\} \end{align}$ , musst du nachweisen, dass $\begin{align} (-sin(t))^2+(cos(t))^2 = 1 \end{align}$ für alle $\begin{align} t \end{align}$ , denn dies ist die definierende Eigenschaft der Menge. Alles, was du sonst gesagt hast, stimmt.
23.03.2017, 07:20	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h. Man muss immer die Ableitung einsetzen? dann haben wir: $\begin{eqnarray} (-sin(t))^2 + (cos(t))^2 = sin^2(t) + cos^2(t) = 1 \end{eqnarray}$ danke CW
23.03.2017, 11:37	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da habe ich mich vertan, nicht die Ableitung, sondern die ursprüngliche Funktion .
23.03.2017, 13:00	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke schön

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