Boolesche Algebra Beweis - not(x) XOR x = not(x XOR y)

23.03.2017, 10:20

Taubentom

Boolesche Algebra Beweis - not(x) XOR x = not(x XOR y)

Meine Frage:
Hi, folgendes Problem:

Sei
$\begin{eqnarray*} x \oplus y := (x+y)*(\overline{x} + \overline{y}) \end{eqnarray*}$
Zu beweisen ist jetzt:

$\begin{eqnarray*} \overline{x} \oplus y = \overline{x \oplus y} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Beweis ist zu kurz und einfach, als dass er richtig sein kann. Ich hab da irgendwo einen Fehler drin, aber ich finde ihn nicht:

$\begin{eqnarray*} \overline{x} \oplus y = \overline{x \oplus y} = \overline{(x+y)*(\overline{x} + \overline{y})} \stackrel{De-Morgan}{=} \overline{(x+y)} + \overline{(\overline{x} + \overline{y})} \stackrel{De-Morgan\ und\ doppelte\ Negation}{=} (\overline{x} * \overline{y}) + (x*y) \end{eqnarray*}$

Also fange ich von links an zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \overline{x} \oplus y \stackrel{Def.}{=} (\overline{x}+y) * (x + \overline{y}) \stackrel{Ausmultiplizieren}{=} \overline{x}*x + \overline{x} * \overline{y} + x*y + \overline{y}*y \stackrel{0*1\ ist\ immer\ 0}{=} (\overline{x} * \overline{y}) + (x*y) \end{eqnarray*}$

Da muss ein Fehler sein und vermutlich ist der echt dumm. Aber ich seh ihn einfach nicht :/

Danke schon mal
Lg

23.03.2017, 13:52

Dopap

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die Behauptung ist richtig wie man an der simplen Wahrheitstafel sieht. Logische Aussagen sind äquivalent wenn die Bijunktion eine Tautologie ist.
besser: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ verwenden !

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:


  X Y  |  ((~X v Y) & (X v ~Y)) <-> ~((X v Y) & (~X v ~Y))
  -----+--------------------------------------------------
  1 1  |    0  1    1    1 0    *1* 1    1    0  0  0 0   
  1 0  |    0  0    0    1 1    *1* 0    1    1  0  1 1   
  0 1  |    1  1    0    0 0    *1* 0    1    1  1  1 0   
  0 0  |    1  1    1    1 1    *1* 1    0    0  1  1 1

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