Abschätzungen für Minorantenkriterium Reihe

23.03.2017, 17:38

ON123

Meine Frage:
Hallo.

Bei der Aufgabe geht es darum die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k^{4}-4k^{3}+7}{k^{5}-k^{3}+k^{2}+5} \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz zu untersuchen.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre durch geschickte Abschätzungen die Harmonische Reihe als divergente Minorante zu erhalten.

Der Bruch wird kleiner (für k>=3) wenn ich nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{k^{4}-4k^{3}+7}{k^{5}} \end{eqnarray*}$ betrachte, allerdings komme ich hier nicht weiter.

Gibt es hier vielleicht noch einen anderen Ansatz?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

23.03.2017, 19:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht nötig, sich den Kopf zu zermartern auf der Suche nach eleganten Abschätzungen, es geht auch einfach so: Offenbar ist $\begin{align*} \frac{k^4-4k^3+7}{k^5-k^3+k^2+5} = \frac{1}{k}\cdot g(k) \end{align*}$ mit einer Funktion $\begin{align*} g \end{align*}$ , für die $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} g(k) = 1 \end{align*}$ gilt. Damit gibt es für jedes $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ , so dass $\begin{align*} |g(k)-1|<\varepsilon \end{align*}$ bzw. äquiivalent $\begin{align*} 1-\varepsilon<g(k)<1+\varepsilon \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq k_0 \end{align*}$ erfüllt ist. Das gilt u.a. auch für $\begin{align*} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{align*}$ , damit haben wir für das zugehörige $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ die Eigenschaft

$\begin{align*} \frac{k^4-4k^3+7}{k^5-k^3+k^2+5} > \frac{1}{k}\cdot (1-\varepsilon) = \frac{1}{2k} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq k_0 \end{align*}$

23.03.2017, 21:03

ON123

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000.
Vielen Dank für deine Antwort, ich habe dein Vorgehen verstanden, kannte diesen Trick allerdings noch nicht und wäre wohl im Leben nicht darauf gekommen.

Nochmal Danke und einen schönen Abend noch.

24.03.2017, 08:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ON123
Der Bruch wird kleiner (für k>=3) wenn ich nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{k^{4}-4k^{3}+7}{k^{5}} \end{eqnarray*}$ betrachte, allerdings komme ich hier nicht weiter.

Gibt es hier vielleicht noch einen anderen Ansatz?

Alternativ zum Weg von HAL 9000 kann man auch mal mit dem Holzhammer draufhauen:

Für k >= 8 gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{k^4 - 4k^3 + 7}{k^5} \geq \frac{k^4 - \frac 1 2 k \cdot k^3}{k^5} = \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$

Man kommt aufs gleiche Ergebnis, spart sich aber die Sache mit dem Grenzwert. smile

24.03.2017, 09:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
spart sich aber die Sache mit dem Grenzwert.

Mit dem "sparen" ist das so eine Sache. Was die Sache mit dem Grenzwert auf jeden Fall spart ist die oft leider auftretende Frage bei Abschätzungen, wie du sie vorgenommen hast: "Wie kommt man darauf?" Augenzwinkern

Genau deswegen habe ich diesen anderen Blickwinkel mal eröffnet, um das Bewusstsein dafür zu schärfen, dass das Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen im Unendlichen lediglich durch Grad sowie Leitkoeffizient von Zähler- und Nennerpolynom bestimmt ist, und das andere "Gemüse" da vernachlässigbar ist. smile

Neue Frage »

Antworten »

Abschätzungen für Minorantenkriterium Reihe

Verwandte Themen