Komplexe Matrix in Jordan-Normalform

24.03.2017, 15:25

Mango123

Komplexe Matrix in Jordan-Normalform

Meine Frage:
Die Aufgabe ist es eine komplexe Matrix in Jordan-Normalform anzugeben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & -7\\ 9 & -3 & -7 & -1\\ 0 & 0 & 4 &-9\\ 0 & 0 & 2 & -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das charakteristische Polynom ist x^2*(x^2+2), daraus folgt (x-2i)^2, also sind die eigenwerte +- 2i
Algebraische vielfachheit ist also 2, d.h. die Jordanmatrix hat die Dimension 2*2.
Nun zu meinem Problem: mit der Bestimmung des Rangs bekommt man die Dimemsion des Eigenraums und somit wie viele jordankästchen es zum jeweiligen Eigenwert gibt. Aber wenn ich in der diagonale für das x 2i bzw. -2i einsetze sind die Vektoren linear unabhängig und somit haben sie dann doch als rang 4 und es kann keine 4 Kästchen in einer 2*2 Matrix geben.
Also worin liegt mein Problem?

24.03.2017, 15:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mango123
Das charakteristische Polynom ist x^2*(x^2+2), daraus folgt (x-2i)^2, also sind die eigenwerte +- 2i

Moment mal, nicht so schnell mit den jungen Pferden: Es ist

$\begin{align*} 0 = x^2(x^2+2) = x^2(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i) \end{align*}$ ,

d.h., wir haben die reelle Doppelnullstelle 0 sowie die beiden komplexen Einzelnullstellen $\begin{align*} \sqrt{2}i \end{align*}$ sowie $\begin{align*} -\sqrt{2}i \end{align*}$ .

EDIT:

Zitat:

Original von Mango123
Also worin liegt mein Problem?

Vielleicht auch am zu schnellen Verschwinden nach Abkippen der Frage.

25.03.2017, 10:14

Mango123

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Ok ja stimmt habe mich wohl verrechnet Hammer

Das heißt nun haben wir als algebraische Vielfachheit 4 und die Jordan normalform besteht aus einer 4mal4 Matrix da der Rang 4 ist?

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