Reihe Konvergenz/Divergenz Minorante

24.03.2017, 19:56

1234abcd

Reihe Konvergenz/Divergenz Minorante

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{2n-1}{3n^2+1} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich diese Reihe geschickt durch eine Minorante abschätzen?
(Ich bin mir eigentlich schon ziemlich sicher, dass diese Reihe divergiert)
Jetzt würde mich nur interessieren, wie ich es abschätzen kann, weil mit der bekanntesten Minoranten 1/n bekomme ich es irgentwie nicht hin...
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen smile

Danke!

Meine Ideen:

24.03.2017, 20:38

HAL 9000

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Grundsätzlich gilt auch hier wieder diese Anmerkung.

Und wem das nicht gefällt, der kann nach wie vor abschätzen: Für $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} 2n-1\geq 2n-n = n \end{align*}$ sowie $\begin{align*} 3n^2+1\leq 3n^2+n^2 = 4n^2 \end{align*}$ und somit $\begin{align*} \frac{2n-1}{3n^2+1}\geq \frac{n}{4n^2} = \frac{1}{4n} \end{align*}$ .

24.03.2017, 20:52

1234abcd

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Danke erstmal!
Irgentwie bin ich nicht darauf gekommen, dass ich Zähler und Nenner ja auch einzeln abschätzen kann. Also Vielen Dank für den Tipp, werde ich mir merken smile

Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist nicht nötig, sich den Kopf zu zermartern auf der Suche nach eleganten Abschätzungen, es geht auch einfach so: Offenbar ist $\begin{align*} \frac{k^4-4k^3+7}{k^5-k^3+k^2+5} = \frac{1}{k}\cdot g(k) \end{align*}$ mit einer Funktion $\begin{align*} g \end{align*}$ , für die $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} g(k) = 1 \end{align*}$ gilt. Damit gibt es für jedes $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ , so dass $\begin{align*} |g(k)-1|<\varepsilon \end{align*}$ bzw. äquiivalent $\begin{align*} 1-\varepsilon<g(k)<1+\varepsilon \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq k_0 \end{align*}$ erfüllt ist. Das gilt u.a. auch für $\begin{align*} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{align*}$ , damit haben wir für das zugehörige $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ die Eigenschaft

$\begin{align*} \frac{k^4-4k^3+7}{k^5-k^3+k^2+5} > \frac{1}{k}\cdot (1-\varepsilon) = \frac{1}{2k} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq k_0 \end{align*}$

Das heißt ich kann es einfach immer mit 1/n als Minorante abschätzen, ohne, dass ich es explizit zeige ?
Also ich zeige es dann nur mit der Funktion g(x) und der Epsilon Def.?
(Den Trick es dann über die Epsion-Definition zu machen, kannte ich bisher noch nicht)

24.03.2017, 21:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von 1234abcd
Das heißt ich kann es einfach immer mit 1/n als Minorante abschätzen, ohne, dass ich es explizit zeige ?

Nein, so pauschal stimmt das nicht. Ich hab jetzt aber keine Lust, das mit dem Grenzwert haarklein zu "zerreden" - wenn du den Weg nicht verstehst, dann bleib bei der normalen Zähler- und Nennerabschätzung.

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